男子4人、女子3人、合計7人の生徒に関する組み合わせと順列の問題です。 (1) 7人が一列に並ぶとき、両端が男子である並び方と、女子同士が隣り合わない並び方を求めます。 (2) 7人が4人掛けと3人掛けの円卓に分かれて座る座り方、およびその中で男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方を求めます。 (3) 7人を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法、およびどの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方を求めます。

1. 問題の内容

男子4人、女子3人、合計7人の生徒に関する組み合わせと順列の問題です。

(1) 7人が一列に並ぶとき、両端が男子である並び方と、女子同士が隣り合わない並び方を求めます。

(2) 7人が4人掛けと3人掛けの円卓に分かれて座る座り方、およびその中で男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方を求めます。

(3) 7人を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法、およびどの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* 両端が男子である並び方：

両端の男子の選び方は $4 \times 3 = 12$ 通り。残りの5人の並び方は $5! = 120$ 通り。したがって、両端が男子である並び方は $12 \times 120 = 1440$ 通り。

* 女子同士が隣り合わない並び方：

まず男子4人を並べる。並び方は $4! = 24$通り。男子の間または端の5箇所から女子3人が座る場所を選ぶ。選び方は ${}_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。したがって、女子同士が隣り合わない並び方は $24 \times 60 = 1440$ 通り。

(2)

* 円卓に座る座り方：

4人掛けの円卓に4人が座る座り方は $(4-1)! = 3! = 6$通り。3人掛けの円卓に3人が座る座り方は $(3-1)! = 2! = 2$通り。

7人から4人を選ぶ方法は ${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。残りの3人は自動的に3人掛けの円卓に座ることになる。

したがって、円卓に座る座り方は $35 \times 6 \times 2 = 420$通り。

* 男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方：

4人掛けの円卓に男子2人と女子2人が座る。男子の選び方は ${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$通り。女子の選び方は ${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

4人掛けの円卓での座り方は $(4-1)! = 3! = 6$通り。3人掛けの円卓には残りの男子2人,女子1人が座る。座り方は $(3-1)! = 2! = 2$通り。

したがって、$6 \times 3 \times 6 \times 2 = 216$通り。

(3)

* 7人を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法：

7人から2人を選ぶ方法は ${}_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = 21$ 通り。残りの5人から2人を選ぶ方法は ${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$ 通り。残りの3人は自動的に3人の組になる。2人の組が区別できないので、$2!$ で割る。

したがって、分け方は $\frac{21 \times 10}{2} = 105$ 通り。

* どの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方：

男子がいない組がある場合を考える。

(i) 3人の組に女子3人が入る場合。残り4人の男子を2人、2人に分ける。分け方は $\frac{{}_4C_2}{2} = \frac{6}{2} = 3$通り。

(ii) 2人の組に女子2人が入る場合。残りの女子1人は3人の組に入る。男子4人から2人、1人、1人に分ける。${}_4C_2 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 = 6 \times 2 \times 1 = 12$。2つの1人の組は区別しないので、$\frac{12}{2} = 6$通り。

(iii) 2人の組に女子2人が入る場合。$\frac{{}_4C_2 \times {}_2C_2}{2} = \frac{6 \times 1}{2} = 3$通り。

したがって、男子がいない組ができるのは $3 + 6 = 9$通り。よって、少なくとも男子が1人含まれる分け方は $105 - 9 = 96$通り。

3. 最終的な答え

(1) アイウエ：1440、オカキク：1440

(2) ケコサ：420、シスセ：216

(3) ソタチ：105、ツテ：96