コインを100回投げたところ、64回が表だった。コインの表と裏の確率に有意差があるかどうかを判断する。

1. 問題の内容

コインを100回投げたところ、64回が表だった。コインの表と裏の確率に有意差があるかどうかを判断する。

2. 解き方の手順

帰無仮説: コインは公平である (表が出る確率は0.5)。

対立仮説: コインは公平ではない (表が出る確率は0.5ではない)。

有意水準: 問題文に指定がないので、一般的に使われる5%とする。

標本比率 $\hat{p}$ を計算する:

$\hat{p} = \frac{64}{100} = 0.64$

帰無仮説の下での期待値 $p_0$ は 0.5 (公平なコイン) である。

標準誤差を計算する:

$SE = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{100}} = \sqrt{\frac{0.25}{100}} = \sqrt{0.0025} = 0.05$

Zスコアを計算する:

$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{SE} = \frac{0.64 - 0.5}{0.05} = \frac{0.14}{0.05} = 2.8$

両側検定を行う。有意水準5%の場合、棄却域は $Z > 1.96$ または $Z < -1.96$ である。

計算されたZスコアは 2.8 であり、$2.8 > 1.96$ を満たすので、帰無仮説は棄却される。

つまり、コインの表と裏の確率には有意差がある。

Zスコアの絶対値は$|2.8|$であるため、$|Z| > 2.0$であり、Z>2.0を満たす。

3. 最終的な答え

Z>2.0 より有意差がある