コインを100回投げたところ、64回が表だった。コインの表と裏の確率に有意差があるかどうかを判断する。

確率論・統計学仮説検定確率統計的有意性Zスコア
2025/6/16

1. 問題の内容

コインを100回投げたところ、64回が表だった。コインの表と裏の確率に有意差があるかどうかを判断する。

2. 解き方の手順

帰無仮説: コインは公平である (表が出る確率は0.5)。
対立仮説: コインは公平ではない (表が出る確率は0.5ではない)。
有意水準: 問題文に指定がないので、一般的に使われる5%とする。
標本比率 p^\hat{p} を計算する:
p^=64100=0.64\hat{p} = \frac{64}{100} = 0.64
帰無仮説の下での期待値 p0p_0 は 0.5 (公平なコイン) である。
標準誤差を計算する:
SE=p0(1p0)n=0.5(10.5)100=0.25100=0.0025=0.05SE = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{100}} = \sqrt{\frac{0.25}{100}} = \sqrt{0.0025} = 0.05
Zスコアを計算する:
Z=p^p0SE=0.640.50.05=0.140.05=2.8Z = \frac{\hat{p} - p_0}{SE} = \frac{0.64 - 0.5}{0.05} = \frac{0.14}{0.05} = 2.8
両側検定を行う。有意水準5%の場合、棄却域は Z>1.96Z > 1.96 または Z<1.96Z < -1.96 である。
計算されたZスコアは 2.8 であり、2.8>1.962.8 > 1.96 を満たすので、帰無仮説は棄却される。
つまり、コインの表と裏の確率には有意差がある。
Zスコアの絶対値は2.8|2.8|であるため、Z>2.0|Z| > 2.0であり、Z>2.0を満たす。

3. 最終的な答え

Z>2.0 より有意差がある

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