復習をしない10人、時々する30人、常にする10人について、それぞれのグループでの合格者が2人、21人、7人だったとき、復習の有無と合否に関係があるかをカイ二乗検定を用いて判断する問題です。

1. 問題の内容

復習をしない10人、時々する30人、常にする10人について、それぞれのグループでの合格者が2人、21人、7人だったとき、復習の有無と合否に関係があるかをカイ二乗検定を用いて判断する問題です。

2. 解き方の手順

まず、観測度数と期待度数からカイ二乗値を計算します。

1. クロス集計表を作成する。

| | 合格 | 不合格 | 合計 |

|-------------|------|--------|------|

| 復習しない | 2 | 8 | 10 |

| 時々する | 21 | 9 | 30 |

| 常にする | 7 | 3 | 10 |

| 合計 | 30 | 20 | 50 |

2. 期待度数を計算する。

期待度数は、(行の合計 * 列の合計) / 全体の合計 で求められます。

* 復習しない人の合格者の期待度数: (10 * 30) / 50 = 6

* 復習しない人の不合格者の期待度数: (10 * 20) / 50 = 4

* 時々する人の合格者の期待度数: (30 * 30) / 50 = 18

* 時々する人の不合格者の期待度数: (30 * 20) / 50 = 12

* 常にする人の合格者の期待度数: (10 * 30) / 50 = 6

* 常にする人の不合格者の期待度数: (10 * 20) / 50 = 4

3. カイ二乗値を計算する。

カイ二乗値は、$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$ で求められます。ここで、$O$ は観測度数、$E$ は期待度数です。

$\chi^2 = \frac{(2-6)^2}{6} + \frac{(8-4)^2}{4} + \frac{(21-18)^2}{18} + \frac{(9-12)^2}{12} + \frac{(7-6)^2}{6} + \frac{(3-4)^2}{4}$

$\chi^2 = \frac{16}{6} + \frac{16}{4} + \frac{9}{18} + \frac{9}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$

$\chi^2 = \frac{8}{3} + 4 + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$

$\chi^2 = \frac{16 + 24 + 3 + 4.5 + 1 + 1.5}{6}$

$\chi^2 = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8.33$

4. 自由度を計算する。

自由度は (行数 - 1) * (列数 - 1) で求められます。この場合、(3 - 1) * (2 - 1) = 2 * 1 = 2 です。

5. カイ二乗分布表を用いて有意水準を判断する。

自由度2におけるカイ二乗値が8.33であるとき、有意水準を0.05とした場合、$\chi^2 > 5.991$ ならば帰無仮説を棄却できます。今回のカイ二乗値は 8.33 であり、5.991 より大きいため、帰無仮説は棄却されます。これは、復習の有無と合否には関係があると言えます。

問題文の選択肢にあるように、有意水準を調整し、$\chi^2 > 6.0$で関係ありと判断できます。

3. 最終的な答え

自由度2でK>6.0なので関係する