以下の5つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $\arcsin x^2$ (2) $\arccos e^x$ (3) $\arctan 3x$ (4) $\arccos 2x \cdot \arctan (\log |x|)$ (5) $\frac{\arcsin x}{2x+1}$

1. 問題の内容

以下の5つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $\arcsin x^2$

(2) $\arccos e^x$

(3) $\arctan 3x$

(4) $\arccos 2x \cdot \arctan (\log |x|)$

(5) $\frac{\arcsin x}{2x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \arcsin x^2$ の微分

$\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ を用います。合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot \frac{d}{dx}x^2 = \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

(2) $y = \arccos e^x$ の微分

$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ を用います。合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(e^x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}e^x = -\frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}} \cdot e^x = -\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$

(3) $y = \arctan 3x$ の微分

$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$ を用います。合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot \frac{d}{dx}3x = \frac{1}{1+9x^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$

(4) $y = \arccos 2x \cdot \arctan (\log |x|)$ の微分

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用います。

$u = \arccos 2x$, $v = \arctan (\log |x|)$ とします。

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}2x = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{1+(\log |x|)^2} \cdot \frac{d}{dx}\log |x| = \frac{1}{1+(\log |x|)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x(1+(\log |x|)^2)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} v + u \frac{dv}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} \arctan (\log |x|) + \arccos 2x \cdot \frac{1}{x(1+(\log |x|)^2)}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2\arctan (\log |x|)}{\sqrt{1-4x^2}} + \frac{\arccos 2x}{x(1+(\log |x|)^2)}$

(5) $y = \frac{\arcsin x}{2x+1}$ の微分

商の微分公式 $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \arcsin x$, $v = 2x+1$ とします。

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dv}{dx} = 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(2x+1) - \arcsin x \cdot 2}{(2x+1)^2} = \frac{\frac{2x+1}{\sqrt{1-x^2}} - 2\arcsin x}{(2x+1)^2} = \frac{2x+1 - 2\arcsin x \sqrt{1-x^2}}{(2x+1)^2\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

(2) $-\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$

(3) $\frac{3}{1+9x^2}$

(4) $-\frac{2\arctan (\log |x|)}{\sqrt{1-4x^2}} + \frac{\arccos 2x}{x(1+(\log |x|)^2)}$

(5) $\frac{2x+1 - 2\arcsin x \sqrt{1-x^2}}{(2x+1)^2\sqrt{1-x^2}}$