問題は以下の通りです。 (1) 大人6人と子供3人の合計9人が1列に並んで山登りをする。 - 先頭と最後尾が大人になる確率を求める。 - 子供3人が全員隣り合う確率を求める。 - 子供の前後が必ず大人になる確率を求める。 (2) 白球1個、赤球2個、青球3個、黒球4個の合計10個の球が入った袋から3個の球を同時に取り出す。 - 取り出した球の色がすべて異なる確率を求める。 - 取り出した球の色が2種類である確率を求める。 - 白球を取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 大人6人と子供3人の合計9人が1列に並んで山登りをする。

- 先頭と最後尾が大人になる確率を求める。

- 子供3人が全員隣り合う確率を求める。

- 子供の前後が必ず大人になる確率を求める。

(2) 白球1個、赤球2個、青球3個、黒球4個の合計10個の球が入った袋から3個の球を同時に取り出す。

- 取り出した球の色がすべて異なる確率を求める。

- 取り出した球の色が2種類である確率を求める。

- 白球を取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 大人6人と子供3人の並び方に関する確率

* 先頭と最後尾が大人になる確率

* 全体の並び方は $9!$ 通り。

* 先頭と最後尾を大人にする方法は、先頭の選び方が6通り、最後尾の選び方が残り5通り。

* 残りの7人の並び方は $7!$ 通り。

* したがって、先頭と最後尾が大人になる並び方は $6 \times 5 \times 7!$ 通り。

* 確率は $\frac{6 \times 5 \times 7!}{9!} = \frac{6 \times 5}{9 \times 8} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12}$

* 子供3人が全員隣り合う確率

* 子供3人を1つのグループと考えると、並び方は (大人6人 + 子供グループ1つ) で7!通り。

* 子供グループ内の並び方は3!通り。

* したがって、子供3人が隣り合う並び方は $7! \times 3!$ 通り。

* 確率は $\frac{7! \times 3!}{9!} = \frac{3!}{9 \times 8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

* 子供の前後が必ず大人になる確率

* まず、大人6人を並べる。$6!$ 通り。

* 子供3人は、大人6人の間の7つの隙間から3つを選ぶ。${}_7P_3$ 通り。

* 子供3人の並び方は3!通り。

* よって、子供の前後が必ず大人になる並び方は $6! \times {}_7P_3 = 6! \times (7 \times 6 \times 5)$

* 確率は $\frac{6! \times (7 \times 6 \times 5)}{9!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{9 \times 8 \times 7} = \frac{210}{504} = \frac{5}{12}$

(2) 球の取り出しに関する確率

* 取り出した球の色がすべて異なる確率

* 10個から3個を取り出す方法は ${}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ 通り。

* 色がすべて異なる取り出し方は、白1個、赤2個から1個、青3個から1個、黒4個から1個を選ぶので、

$1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ 通り。

* 確率は $\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$

* 取り出した球の色が2種類である確率

* 考えられる組み合わせは多いので、余事象を考える。

* 全事象は ${}_{10}C_3 = 120$

* 1種類になる場合はありえない。

* 3種類になる場合は $\frac{1}{5}$

* 2種類になる確率は $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

* 直接計算で求める場合：

* 2種類となる組み合わせを考える必要がある。例えば、白と赤だけ、赤と青だけ、など。それぞれの場合の数を計算し、合計する。

* 計算が複雑になるため、余事象から求めた方が簡単である。

* （省略）

* 余事象を利用する。

* $\frac{4}{5}$

* 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率

* 白球を取り出さないので、赤2個、青3個、黒4個の合計9個から3個を取り出す。${}_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。

* 青球を1つも取り出さない（つまり赤と黒だけ取り出す）方法は、${}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

* 青球を少なくとも1個取り出す方法は $84 - 20 = 64$ 通り。

* 確率は $\frac{64}{84} = \frac{16}{21}$

3. 最終的な答え

(1)

* 先頭と最後尾が大人になる確率: $\frac{5}{12}$

* 子供3人が全員隣り合う確率: $\frac{1}{12}$

* 子供の前後が必ず大人になる確率: $\frac{5}{12}$

(2)

* 取り出した球の色がすべて異なる確率: $\frac{1}{5}$

* 取り出した球の色が2種類である確率: $\frac{4}{5}$

* 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率: $\frac{16}{21}$