定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^5 x dx$ を求めます。

## 問題1 (1)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^5 x dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^5 x$ を $\cos x \cdot \cos^4 x$ に分解します。そして、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて、$\cos^4 x$ を $\sin x$ の関数で表します。

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = (1 - \sin^2 x)^2 = 1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x$

与えられた積分は、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^5 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x (1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x) dx$

ここで、$\sin x = t$ と置換すると、$dt = \cos x dx$ となり、積分範囲は、$x:0 \to \frac{\pi}{2}$ に対して $t:0 \to 1$ となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x (1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x) dx = \int_{0}^{1} t^2 (1 - 2t^2 + t^4) dt$

$= \int_{0}^{1} (t^2 - 2t^4 + t^6) dt = [\frac{1}{3}t^3 - \frac{2}{5}t^5 + \frac{1}{7}t^7]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{35 - 42 + 15}{105} = \frac{8}{105}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{105}$

## 問題1 (2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x = \sin \theta$ と置換すると、$dx = \cos \theta d\theta$ となります。積分範囲は、$x:0 \to \frac{1}{2}$ に対して $\theta:0 \to \frac{\pi}{6}$ となります。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2 \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} [\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$

$= \frac{1}{2} [\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3}] = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}$

## 問題1 (3)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 2e^{-x} + 3} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

分母分子に $e^x$ をかけます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 2e^{-x} + 3} dx = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^{2x} + 3e^x + 2} dx = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x + 1)(e^x + 2)} dx$

$e^x = t$ と置換すると、$dt = e^x dx$ となります。積分範囲は、$x:0 \to 1$ に対して $t:1 \to e$ となります。

$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x + 1)(e^x + 2)} dx = \int_{1}^{e} \frac{1}{(t + 1)(t + 2)} dt = \int_{1}^{e} (\frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t + 2}) dt$

$= [\ln |t + 1| - \ln |t + 2|]_{1}^{e} = [\ln |\frac{t + 1}{t + 2}|]_{1}^{e} = \ln (\frac{e + 1}{e + 2}) - \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{3(e + 1)}{2(e + 2)})$

3. 最終的な答え

$\ln (\frac{3(e + 1)}{2(e + 2)})$

## 問題1 (4)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} x^5 e^{x^3} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x^3 = t$ と置換すると、$3x^2 dx = dt$ 、つまり $x^2 dx = \frac{1}{3}dt$ となります。積分範囲は、$x:1 \to 2$ に対して $t:1 \to 8$ となります。

$\int_{1}^{2} x^5 e^{x^3} dx = \int_{1}^{2} x^3 e^{x^3} x^2 dx = \int_{1}^{8} t e^t \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int_{1}^{8} t e^t dt$

部分積分を用います。$\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t$

$\frac{1}{3} \int_{1}^{8} t e^t dt = \frac{1}{3} [t e^t - e^t]_{1}^{8} = \frac{1}{3} [(8e^8 - e^8) - (e - e)] = \frac{1}{3} (7e^8 - 0) = \frac{7}{3} e^8$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{3} e^8$

## 問題1 (5)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} |\log x| dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$1 \leq x \leq e$ の範囲では、$\log x \geq 0$ なので、$|\log x| = \log x$ となります。

$\int_{1}^{e} |\log x| dx = \int_{1}^{e} \log x dx$

部分積分を用います。$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x$

$\int_{1}^{e} \log x dx = [x \log x - x]_{1}^{e} = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

1

## 問題1 (6)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{3} x(x + \cos^3 x) dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\int_{-3}^{3} x(x + \cos^3 x) dx = \int_{-3}^{3} (x^2 + x\cos^3 x) dx = \int_{-3}^{3} x^2 dx + \int_{-3}^{3} x\cos^3 x dx$

$x^2$ は偶関数なので、$\int_{-3}^{3} x^2 dx = 2\int_{0}^{3} x^2 dx = 2[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{3} = 2(\frac{1}{3} \cdot 27) = 2 \cdot 9 = 18$

$x\cos^3 x$ は奇関数なので、$\int_{-3}^{3} x\cos^3 x dx = 0$

$\int_{-3}^{3} x(x + \cos^3 x) dx = 18 + 0 = 18$

3. 最終的な答え

18