問題3.13の(1)について、関数 $y = \frac{5x+6}{3x+4}$ の導関数を求める。ここで、商の導関数の公式 $ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ を用いる。

1. 問題の内容

問題3.13の(1)について、関数 $y = \frac{5x+6}{3x+4}$ の導関数を求める。ここで、商の導関数の公式 $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ を用いる。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = 5x+6$ と $g(x) = 3x+4$ とおく。

次に、$f'(x)$ と $g'(x)$ を求める。

$f'(x) = 5$

$g'(x) = 3$

次に、商の導関数の公式に代入する。

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} = \frac{5(3x+4) - (5x+6)3}{(3x+4)^2}$

分子を展開して整理する。

$5(3x+4) - (5x+6)3 = 15x + 20 - (15x + 18) = 15x + 20 - 15x - 18 = 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(3x+4)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(3x+4)^2}$