関数 $y = \frac{3x+5}{x^2-4}$ の導関数を、商の微分公式を用いて求めよ。商の微分公式は $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ である。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3x+5}{x^2-4}$ の導関数を、商の微分公式を用いて求めよ。商の微分公式は $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ である。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = 3x+5$ および $g(x) = x^2-4$ とおく。

次に、それぞれの導関数を求める。

$f'(x) = 3$

$g'(x) = 2x$

商の微分公式に代入する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} = \frac{3(x^2-4) - (3x+5)(2x)}{(x^2-4)^2}$

分子を整理する。

$3(x^2-4) - (3x+5)(2x) = 3x^2 - 12 - (6x^2 + 10x) = 3x^2 - 12 - 6x^2 - 10x = -3x^2 - 10x - 12$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - 10x - 12}{(x^2-4)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - 10x - 12}{(x^2-4)^2}$