与えられた関数 $y = (x^2 + 2)(2\sqrt{x} + 1)$ を微分せよ。ただし、積の微分公式 $f(x)g(x)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用いること。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x^2 + 2)(2\sqrt{x} + 1)$ を微分せよ。ただし、積の微分公式 $f(x)g(x)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用いること。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 + 2$ および $g(x) = 2\sqrt{x} + 1$ とおく。

次に、それぞれの導関数を計算する。

$f'(x) = 2x$

$g(x) = 2x^{1/2} + 1$ なので、$g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

積の微分公式 $y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ に代入する。

$y' = (2x)(2\sqrt{x} + 1) + (x^2 + 2)(\frac{1}{\sqrt{x}})$

式を整理する。

$y' = 4x\sqrt{x} + 2x + \frac{x^2}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

$y' = 4x^{3/2} + 2x + x^{3/2} + 2x^{-1/2}$

$y' = 5x^{3/2} + 2x + \frac{2}{\sqrt{x}}$

$y' = 5x\sqrt{x} + 2x + \frac{2}{\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$y' = 5x\sqrt{x} + 2x + \frac{2}{\sqrt{x}}$