次の定積分を求める問題です。 (1) $\int_{1}^{2} (2x+1) dx$ (2) $\int_{1}^{3} x^2 dx$ (3) $\int_{-1}^{1} (x^2+1) dx$ (4) $\int_{-1}^{0} (5-3t^2) dt$ (5) $\int_{0}^{1} (3x^2-2x+4) dx$ (6) $\int_{-1}^{1} (t^2+2t+1) dt$ (7) $\int_{0}^{1} (t-2)^2 dt$ (8) $\int_{-a}^{a} (4-y^2) dy$ (9) $\int_{1}^{2} (2x-1) dx + \int_{2}^{3} (2x-1) dx$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、2番の問題の(1)から(9)までを解きます。

1. 問題の内容

次の定積分を求める問題です。

(1) $\int_{1}^{2} (2x+1) dx$

(2) $\int_{1}^{3} x^2 dx$

(3) $\int_{-1}^{1} (x^2+1) dx$

(4) $\int_{-1}^{0} (5-3t^2) dt$

(5) $\int_{0}^{1} (3x^2-2x+4) dx$

(6) $\int_{-1}^{1} (t^2+2t+1) dt$

(7) $\int_{0}^{1} (t-2)^2 dt$

(8) $\int_{-a}^{a} (4-y^2) dy$

(9) $\int_{1}^{2} (2x-1) dx + \int_{2}^{3} (2x-1) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{2} (2x+1) dx$

不定積分は $x^2+x$ なので、

$[(x^2+x)]_{1}^{2} = (2^2+2) - (1^2+1) = 6-2 = 4$

(2) $\int_{1}^{3} x^2 dx$

不定積分は $\frac{1}{3}x^3$ なので、

$[\frac{1}{3}x^3]_{1}^{3} = \frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{3}(1^3) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$

(3) $\int_{-1}^{1} (x^2+1) dx$

不定積分は $\frac{1}{3}x^3+x$ なので、

$[\frac{1}{3}x^3+x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3}(1)^3 + 1) - (\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)) = (\frac{1}{3}+1) - (-\frac{1}{3}-1) = \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{8}{3}$

(4) $\int_{-1}^{0} (5-3t^2) dt$

不定積分は $5t-t^3$ なので、

$[5t-t^3]_{-1}^{0} = (5(0)-0^3) - (5(-1)-(-1)^3) = 0 - (-5-(-1)) = 0 - (-4) = 4$

(5) $\int_{0}^{1} (3x^2-2x+4) dx$

不定積分は $x^3-x^2+4x$ なので、

$[x^3-x^2+4x]_{0}^{1} = (1^3-1^2+4(1)) - (0^3-0^2+4(0)) = 1-1+4 - 0 = 4$

(6) $\int_{-1}^{1} (t^2+2t+1) dt$

不定積分は $\frac{1}{3}t^3+t^2+t$ なので、

$[\frac{1}{3}t^3+t^2+t]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3}(1)^3+(1)^2+1) - (\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2+(-1)) = (\frac{1}{3}+1+1) - (-\frac{1}{3}+1-1) = (\frac{7}{3}) - (-\frac{1}{3}) = \frac{8}{3}$

(7) $\int_{0}^{1} (t-2)^2 dt$

$(t-2)^2 = t^2 - 4t + 4$

不定積分は $\frac{1}{3}t^3-2t^2+4t$ なので、

$[\frac{1}{3}t^3-2t^2+4t]_{0}^{1} = (\frac{1}{3}(1)^3-2(1)^2+4(1)) - (\frac{1}{3}(0)^3-2(0)^2+4(0)) = (\frac{1}{3}-2+4) - 0 = \frac{1}{3}+2 = \frac{7}{3}$

(8) $\int_{-a}^{a} (4-y^2) dy$

不定積分は $4y-\frac{1}{3}y^3$ なので、

$[4y-\frac{1}{3}y^3]_{-a}^{a} = (4a-\frac{1}{3}a^3) - (4(-a)-\frac{1}{3}(-a)^3) = (4a-\frac{1}{3}a^3) - (-4a+\frac{1}{3}a^3) = 8a - \frac{2}{3}a^3$

(9) $\int_{1}^{2} (2x-1) dx + \int_{2}^{3} (2x-1) dx$

不定積分は $x^2-x$ なので、

$[x^2-x]_{1}^{2} + [x^2-x]_{2}^{3} = ((2^2-2) - (1^2-1)) + ((3^2-3) - (2^2-2)) = (2-0) + (6-2) = 2+4 = 6$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $\frac{26}{3}$

(3) $\frac{8}{3}$

(4) 4

(5) 4

(6) $\frac{8}{3}$

(7) $\frac{7}{3}$

(8) $8a - \frac{2}{3}a^3$

(9) 6