問題文に示された3つの問題について、空欄に当てはまる数字を答えます。 * 問題1: 関数 $y = \frac{1}{3} \sin^2(\pi x)$ の周期、グラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積に関する問題 * 問題2: 曲線 $y = \cos(2x)$ の、$x = \frac{\pi}{3}$ における接線の方程式に関する問題 * 問題3: $y = A x \sin(6x)$ について、$y'' + 36y$ を求め、すべての実数 $x$ に対して $y'' + 36y = 8 \cos(6x)$ を満たすような定数 $A$ の値を求める問題

1. 問題の内容

問題文に示された3つの問題について、空欄に当てはまる数字を答えます。

* 問題1: 関数 $y = \frac{1}{3} \sin^2(\pi x)$ の周期、グラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積に関する問題

* 問題2: 曲線 $y = \cos(2x)$ の、$x = \frac{\pi}{3}$ における接線の方程式に関する問題

* 問題3: $y = A x \sin(6x)$ について、$y'' + 36y$ を求め、すべての実数 $x$ に対して $y'' + 36y = 8 \cos(6x)$ を満たすような定数 $A$ の値を求める問題

2. 解き方の手順

* 問題1: $y = \frac{1}{3} \sin^2(\pi x)$

* $\sin^2(\pi x) = \frac{1 - \cos(2 \pi x)}{2}$ なので、$y = \frac{1}{6} (1 - \cos(2\pi x))$。

* したがって、周期は $\frac{2\pi}{2\pi} = 1$。 よって、問1は1。

* $y = 0$ となるのは $\sin^2(\pi x) = 0$ のときなので、$x = 0, 1$。1周期の範囲は $[0, 1]$。

* グラフと $x$軸で囲まれた面積は、$\int_0^1 \frac{1}{3} \sin^2(\pi x) dx = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{1 - \cos(2 \pi x)}{2} dx = \frac{1}{6} [x - \frac{\sin(2 \pi x)}{2\pi}]_0^1 = \frac{1}{6}(1 - 0 - (0 - 0)) = \frac{1}{6}$。

* よって、問2は1、問3は6。

* 問題2: $y = \cos(2x)$、 $x = \frac{\pi}{3}$ における接線

* $y' = -2\sin(2x)$。

* $x = \frac{\pi}{3}$ のとき、$y' = -2\sin(\frac{2\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$。

* $x = \frac{\pi}{3}$ のとき、$y = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$。

* 接線の方程式は $y - (-\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} (x - \frac{\pi}{3})$。

* $y = -\sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \pi - \frac{1}{2}$。

* よって、問4は3、問5は1、問6は2。

* 問題3: $y = A x \sin(6x)$

* $y' = A\sin(6x) + 6Ax\cos(6x)$

* $y'' = 6A\cos(6x) + 6A\cos(6x) - 36Ax\sin(6x) = 12A\cos(6x) - 36Ax\sin(6x)$

* $y'' + 36y = 12A\cos(6x) - 36Ax\sin(6x) + 36Ax\sin(6x) = 12A\cos(6x)$

* よって、問7は1、問8は2。

* $12A\cos(6x) = 8\cos(6x)$ より、$12A = 8$。

* $A = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$。

* よって、問9は2、問10は3。

3. 最終的な答え

問1: 1

問2: 1

問3: 6

問4: 3

問5: 1

問6: 2

問7: 1

問8: 2

問9: 2

問10: 3