与えられた問題は、三角関数とそのグラフ、接線、および微分方程式に関する3つの問題から構成されています。 問題1: 関数 $y = \frac{1}{3}\sin^2(\pi x)$ の周期を求め、y=0となるxから1周期の範囲のグラフとx軸で囲まれる部分の面積を求めます。 問題2: 曲線 $y = \cos(2x)$ に対して、$x = \frac{\pi}{3}$ における接線の方程式を求めます。 問題3: $A$ を定数とし、$y = Ax\sin(6x)$ に対して、$y'' + 36y = kA\cos(6x)$ を満たす $k$ を求めます。さらに、$y'' + 36y = 8\cos(6x)$ を満たすような定数 $A$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、三角関数とそのグラフ、接線、および微分方程式に関する3つの問題から構成されています。

問題1: 関数 $y = \frac{1}{3}\sin^2(\pi x)$ の周期を求め、y=0となるxから1周期の範囲のグラフとx軸で囲まれる部分の面積を求めます。

問題2: 曲線 $y = \cos(2x)$ に対して、$x = \frac{\pi}{3}$ における接線の方程式を求めます。

問題3: $A$ を定数とし、$y = Ax\sin(6x)$ に対して、$y'' + 36y = kA\cos(6x)$ を満たす $k$ を求めます。さらに、$y'' + 36y = 8\cos(6x)$ を満たすような定数 $A$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

問題1:

$y = \frac{1}{3}\sin^2(\pi x)$ の周期を求めます。

$\sin^2(\pi x) = \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2}$ なので、

$y = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6}\cos(2\pi x)$.

$\cos(2\pi x)$ の周期は $\frac{2\pi}{2\pi} = 1$ であるため、$y$ の周期も1です。よって、問1は1です。

$y = 0$ となるのは $\frac{1}{3}\sin^2(\pi x) = 0$ のとき、つまり $\sin(\pi x) = 0$ のときです。

$x = 0, 1, 2, ...$となります。1周期の範囲は0から1なので、積分範囲は0から1となります。

$\int_0^1 \frac{1}{3} \sin^2(\pi x) dx = \int_0^1 \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2} dx = \frac{1}{6} \int_0^1 (1 - \cos(2\pi x)) dx = \frac{1}{6} [x - \frac{1}{2\pi}\sin(2\pi x)]_0^1 = \frac{1}{6}(1 - 0) = \frac{1}{6}$

よって、問2は1、問3は6です。

問題2:

$y = \cos(2x)$

$y' = -2\sin(2x)$

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、

$y(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$y'(\frac{\pi}{3}) = -2\sin(\frac{2\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$

接線の方程式は

$y - (-\frac{1}{2}) = -\sqrt{3}(x - \frac{\pi}{3})$

$y = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{1}{2}$

$y = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}\pi - \frac{1}{2}$

よって、問4は3、問5は1、問6は2です。

問題3:

$y = Ax\sin(6x)$

$y' = A\sin(6x) + 6Ax\cos(6x)$

$y'' = 6A\cos(6x) + 6A\cos(6x) - 36Ax\sin(6x) = 12A\cos(6x) - 36Ax\sin(6x)$

$y'' + 36y = 12A\cos(6x) - 36Ax\sin(6x) + 36Ax\sin(6x) = 12A\cos(6x)$

$y'' + 36y = 12A\cos(6x)$

よって、問7は1、問8は2です。

$y'' + 36y = 8\cos(6x)$ より、 $12A\cos(6x) = 8\cos(6x)$

$12A = 8$

$A = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

よって、問9は2、問10は3です。

3. 最終的な答え

問1: 1

問2: 1

問3: 6

問4: 3

問5: 1

問6: 2

問7: 1

問8: 2

問9: 2

問10: 3