与えられた定積分（のようなもの）の計算を実行せよ。 問題は以下の式を計算することです。 $[\frac{2}{3}x^3 - \frac{x^2}{2} - x]_{-1}^{-\frac{1}{2}} + [\frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} + x]_{-\frac{1}{2}}^{1} + [\frac{2}{3}x^3 - \frac{x^2}{2} - x]_{1}^{2}$

1. 問題の内容

与えられた定積分（のようなもの）の計算を実行せよ。

問題は以下の式を計算することです。

$[\frac{2}{3}x^3 - \frac{x^2}{2} - x]_{-1}^{-\frac{1}{2}} + [\frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} + x]_{-\frac{1}{2}}^{1} + [\frac{2}{3}x^3 - \frac{x^2}{2} - x]_{1}^{2}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を計算し、最後にそれらを足し合わせます。

**第1項:**

$\frac{2}{3}x^3 - \frac{x^2}{2} - x$ に $x = -\frac{1}{2}$ と $x = -1$ を代入します。

$x = -\frac{1}{2}$のとき:

$\frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^3 - \frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{12} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{24} - \frac{3}{24} + \frac{12}{24} = \frac{7}{24}$

$x = -1$のとき:

$\frac{2}{3}(-1)^3 - \frac{(-1)^2}{2} - (-1) = -\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{4}{6} - \frac{3}{6} + \frac{6}{6} = -\frac{1}{6}$

第1項の値: $\frac{7}{24} - (-\frac{1}{6}) = \frac{7}{24} + \frac{1}{6} = \frac{7}{24} + \frac{4}{24} = \frac{11}{24}$

**第2項:**

$\frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} + x$ に $x = 1$ と $x = -\frac{1}{2}$ を代入します。

$x = 1$のとき:

$\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{(1)^2}{2} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6} = \frac{13}{6}$

$x = -\frac{1}{2}$のとき:

$\frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^3 + \frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} + (-\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{12} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{24} + \frac{3}{24} - \frac{12}{24} = -\frac{11}{24}$

第2項の値: $\frac{13}{6} - (-\frac{11}{24}) = \frac{13}{6} + \frac{11}{24} = \frac{52}{24} + \frac{11}{24} = \frac{63}{24} = \frac{21}{8}$

**第3項:**

$\frac{2}{3}x^3 - \frac{x^2}{2} - x$ に $x = 2$ と $x = 1$ を代入します。

$x = 2$のとき:

$\frac{2}{3}(2)^3 - \frac{(2)^2}{2} - 2 = \frac{2}{3}(8) - \frac{4}{2} - 2 = \frac{16}{3} - 2 - 2 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16}{3} - \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$

$x = 1$のとき:

$\frac{2}{3}(1)^3 - \frac{(1)^2}{2} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{5}{6}$

第3項の値: $\frac{4}{3} - (-\frac{5}{6}) = \frac{4}{3} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} + \frac{5}{6} = \frac{13}{6}$

**合計:**

$\frac{11}{24} + \frac{21}{8} + \frac{13}{6} = \frac{11}{24} + \frac{63}{24} + \frac{52}{24} = \frac{11+63+52}{24} = \frac{126}{24} = \frac{63}{12} = \frac{21}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{21}{4}$