与えられた定積分の和を計算する問題です。具体的には、 $ \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} (2x^2 - x - 1) \, dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (-2x^2 + x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (2x^2 - x - 1) \, dx $ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分の和を計算する問題です。具体的には、

$\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} (2x^2 - x - 1) \, dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (-2x^2 + x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (2x^2 - x - 1) \, dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、各定積分の被積分関数を積分します。

$\int (2x^2 - x - 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x + C$

$\int (-2x^2 + x + 1) \, dx = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + C$

次に、各定積分を計算します。

$\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} (2x^2 - x - 1) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x \right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}$

$= \left( \frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) \right) - \left( \frac{2}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - (-1) \right)$

$= \left( \frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right)$

$= \left( -\frac{1}{12} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{4}{6} - \frac{3}{6} + \frac{6}{6} \right)$

$= \left( -\frac{2}{24} - \frac{3}{24} + \frac{12}{24} \right) - \left( -\frac{1}{6} \right)$

$= \frac{7}{24} + \frac{1}{6} = \frac{7}{24} + \frac{4}{24} = \frac{11}{24}$

$\int_{-\frac{1}{2}}^{1} (-2x^2 + x + 1) \, dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x \right]_{-\frac{1}{2}}^{1}$

$= \left( -\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + 1 \right) - \left( -\frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^3 + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) \right)$

$= \left( -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} \right)$

$= \left( -\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6} \right) - \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \right)$

$= \frac{5}{6} - \left( \frac{2}{24} + \frac{3}{24} - \frac{12}{24} \right)$

$= \frac{5}{6} - \left( -\frac{7}{24} \right) = \frac{5}{6} + \frac{7}{24} = \frac{20}{24} + \frac{7}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

$\int_{1}^{2} (2x^2 - x - 1) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x \right]_{1}^{2}$

$= \left( \frac{2}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 2 \right) - \left( \frac{2}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 - 1 \right)$

$= \left( \frac{16}{3} - 2 - 2 \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 1 \right)$

$= \left( \frac{16}{3} - 4 \right) - \left( \frac{4}{6} - \frac{3}{6} - \frac{6}{6} \right)$

$= \frac{16}{3} - \frac{12}{3} - \left( -\frac{5}{6} \right) = \frac{4}{3} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} + \frac{5}{6} = \frac{13}{6}$

したがって、求める値は、

$\frac{11}{24} + \frac{9}{8} + \frac{13}{6} = \frac{11}{24} + \frac{27}{24} + \frac{52}{24} = \frac{11 + 27 + 52}{24} = \frac{90}{24} = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{4}$