与えられた関数を4次の項まで展開する問題です。 (i) $\frac{1}{1+x}$ (ii) $\sqrt[3]{1+x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を4次の項まで展開する問題です。

(i) $\frac{1}{1+x}$

(ii) $\sqrt[3]{1+x}$

2. 解き方の手順

(i) $\frac{1}{1+x}$ の展開

これは等比数列の和の公式を利用します。

$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \dots$

(ii) $\sqrt[3]{1+x}$ の展開

これは二項定理を利用します。

$(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{4!}x^4 + \dots$

ここで、$\alpha = \frac{1}{3}$ なので、

$(1+x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2}x^2 + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-2)}{6}x^3 + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-2)(\frac{1}{3}-3)}{24}x^4 + \dots$

$(1+x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{\frac{1}{3}(-\frac{2}{3})}{2}x^2 + \frac{\frac{1}{3}(-\frac{2}{3})(-\frac{5}{3})}{6}x^3 + \frac{\frac{1}{3}(-\frac{2}{3})(-\frac{5}{3})(-\frac{8}{3})}{24}x^4 + \dots$

$(1+x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3 - \frac{10}{243}x^4 + \dots$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4$

(ii) $\sqrt[3]{1+x} = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3 - \frac{10}{243}x^4$