関数 $f(x,y)$ の点 $(0,0)$ における $\mathbf{l} = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)$ を求めます。関数 $f(x,y)$ は次の2つの場合について与えられています。 (1) $f(x,y) = \cos x + \sin y$ (2) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{|x|y}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ の点 $(0,0)$ における $\mathbf{l} = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)$ を求めます。関数 $f(x,y)$ は次の2つの場合について与えられています。

(1) $f(x,y) = \cos x + \sin y$

(2) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{|x|y}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y) = \cos x + \sin y$ の場合

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0+t\cos\theta, 0+t\sin\theta) - f(0,0)}{t}$

$f(0,0) = \cos 0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$

$f(t\cos\theta, t\sin\theta) = \cos(t\cos\theta) + \sin(t\sin\theta)$

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t\cos\theta) + \sin(t\sin\theta) - 1}{t}$

ここで、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + O(x^4)$ および $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$ という近似を用います。

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{(1 - \frac{(t\cos\theta)^2}{2} + \dots) + (t\sin\theta - \frac{(t\sin\theta)^3}{6} + \dots) - 1}{t}$

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{t\sin\theta - \frac{t^2\cos^2\theta}{2} - \frac{t^3\sin^3\theta}{6} + \dots}{t} = \sin\theta$

(2) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{|x|y}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ の場合

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0+t\cos\theta, 0+t\sin\theta) - f(0,0)}{t}$

$f(0,0) = 0$

$f(t\cos\theta, t\sin\theta) = \frac{|t\cos\theta|t\sin\theta}{\sqrt{(t\cos\theta)^2 + (t\sin\theta)^2}} = \frac{|t\cos\theta|t\sin\theta}{\sqrt{t^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}} = \frac{|t\cos\theta|t\sin\theta}{|t|} = |t|\frac{|\cos\theta|\sin\theta t}{t}$

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{|t\cos\theta|t\sin\theta}{|t|} - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t||\cos\theta|t\sin\theta}{t|t|} = \lim_{t \to 0} \frac{|\cos\theta|\sin\theta t^2}{t|t|} = \lim_{t \to 0} \frac{|\cos\theta|\sin\theta t}{|t|}$

$t \to 0$ のとき、$\frac{t}{|t|}$ は正から近づくとき 1, 負から近づくとき -1 となるため、この極限は存在しません。したがって、$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \sin\theta$

(2) $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)$ は存在しない