与えられた3つの関数 $f(x, y)$ について、点$(0, 0)$におけるベクトル $\ell = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $f(x, y)$ について、点$(0, 0)$におけるベクトル $\ell = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

方向微分係数は、定義より次の式で計算できます。

$$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t\cos\theta, 0 + t\sin\theta) - f(0, 0)}{t}$$

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ の場合:

$f(0, 0) = \cos 0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$ です。

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t\cos\theta) + \sin(t\sin\theta) - 1}{t}$

ここで、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$、$\sin x = x + O(x^3)$ を用いると、

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \frac{(t\cos\theta)^2}{2} + t\sin\theta - 1 + O(t^3)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t\sin\theta - \frac{t^2\cos^2\theta}{2} + O(t^3)}{t} = \lim_{t \to 0} \sin\theta - \frac{t\cos^2\theta}{2} + O(t^2) = \sin\theta$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合:

$f(0, 0) = 0$ です。

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t\cos\theta |t\sin\theta|}{\sqrt{(t\cos\theta)^2 + (t\sin\theta)^2}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t\cos\theta |t\sin\theta|}{t \sqrt{t^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos\theta |\sin\theta|}{t |t|} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos\theta |\sin\theta|}{t |t|}$

$t > 0$ のとき: $\lim_{t \to 0^+} \frac{t^2 \cos\theta |\sin\theta|}{t^2} = \cos\theta |\sin\theta|$

$t < 0$ のとき: $\lim_{t \to 0^-} \frac{t^2 \cos\theta |\sin\theta|}{-t^2} = -\cos\theta |\sin\theta|$

したがって、$\theta \neq 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ のとき、極限が存在しないため、方向微分係数は存在しません。$\sin \theta = 0$ ならば $\theta = 0, \pi$ なので, 方向微分係数は 0。$\cos \theta = 0$ ならば $\theta = \pi /2, 3\pi/2$ なので方向微分係数は

0. まとめると方向微分係数は0。

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合:

$f(0, 0) = 0$ です。

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t\cos\theta \cdot t\sin\theta \cdot \sin\frac{1}{\sqrt{(t\cos\theta)^2 + (t\sin\theta)^2}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos\theta \sin\theta \sin\frac{1}{|t|}}{t} = \lim_{t \to 0} t \cos\theta \sin\theta \sin\frac{1}{|t|} = 0$

なぜなら、$\lim_{t \to 0} \sin\frac{1}{|t|}$ は振動するが、有界であり、$\lim_{t \to 0} t = 0$ であるため。

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta$

(2) $0$

(3) $0$