与えられた行列式の因数分解を求める問題です。 行列式は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式の因数分解を求める問題です。

行列式は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた行列式を計算し、因数分解します。

まず、行列式を展開します。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = (bc^3 - cb^3) - (ac^3 - ca^3) + (ab^3 - ba^3)$

$= bc^3 - cb^3 - ac^3 + ca^3 + ab^3 - ba^3$

$= bc(c^2 - b^2) - a(c^3 - b^3) + a^3(c - b)$

$= bc(c-b)(c+b) - a(c-b)(c^2 + cb + b^2) + a^3(c - b)$

ここで、$c-b$ が共通因数なので、これでくくります。

$= (c-b)[bc(c+b) - a(c^2 + cb + b^2) + a^3]$

$= (c-b)[bc^2 + b^2c - ac^2 - abc - ab^2 + a^3]$

ここで、$c-a$ と $b-a$ を因数に持つと予想します。

$c-b$, $c-a$, $b-a$の積は、$(c-b)(c-a)(b-a)=(c-b)(bc-ba-ac+a^2)=bc^2-bac-ac^2+a^2c-b^2c+b^2a+abc-a^2b=bc^2 - ac^2 - b^2c + a^2c + b^2a - a^2b$

与えられた式を因数分解します。

$(c-b)[(a-b)(a-c)(a+b+c)+bc(b+c) - a(c^2 + cb + b^2) + a^3] \\

=(c-b)[a^3-a^2c-a^2b+abc-abc+ac^2+ab^2-a^2b-b^2c+bc^2] \\

=(c-b)[a^3-a^2c-a^2b+ac^2+ab^2-b^2c+bc^2] \\

=(c-b)[a^3 -a^2(b+c)+a(b^2+c^2)-b^2c-c^2b] $

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$

これは正しくない。

正しくは、$(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$