与えられた行列の逆行列を、行基本変形を用いて求める。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 10 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を、行基本変形を用いて求める。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 10 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行基本変形を用いて、与えられた行列を単位行列に変形する。その際、単位行列に行われた変形が、元の行列の逆行列となる。

(1)

与えられた行列に単位行列を並べた行列を作る。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & | & 1 & 0 \\ 3 & 10 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第2行から第1行の3倍を引く。（2行 - 1行 x 3)

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & -3 & 1 \end{pmatrix}$

第1行から第2行の3倍を引く。（1行 - 2行 x 3)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 10 & -3 \\ 0 & 1 & | & -3 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は

$\begin{pmatrix} 10 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

与えられた行列に単位行列を並べた行列を作る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第2行から第1行の2倍を引く。（2行 - 1行 x 2)

第3行から第1行の2倍を引く。（3行 - 1行 x 2)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第1行から第2行を引く。（1行 - 2行)

第3行から第2行を引く。（3行 - 2行)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

第3行に-1をかける。（3行 x -1)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

第1行から第3行の3倍を引く。（1行 - 3行 x 3)

第2行に第3行を足す。（2行 + 3行)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 3 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は

$\begin{pmatrix} 3 & -4 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 10 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & -4 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$