2つの直線 $2x + ay + 2 = 0$ と $(a+1)x + y + 1 = 0$ が与えられています。 (1) 2つの直線が平行であるとき、定数 $a$ の値を求めます。 (2) 2つの直線が垂直であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $2x + ay + 2 = 0$ と $(a+1)x + y + 1 = 0$ が与えられています。

(1) 2つの直線が平行であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

(2) 2つの直線が垂直であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行であるとき

2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ が平行である条件は、

$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ です。

与えられた2つの直線 $2x + ay + 2 = 0$ と $(a+1)x + y + 1 = 0$ に対して、

$\frac{2}{a+1} = \frac{a}{1} \neq \frac{2}{1}$

$\frac{2}{a+1} = \frac{a}{1}$ から $a(a+1) = 2$ となります。

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a+2)(a-1) = 0$

$a = -2$ または $a = 1$

ここで、$a \neq 2$ を確認します。

$a=-2$ のとき、$\frac{a}{1} = -2 \neq 2$ なので、条件を満たします。

$a=1$ のとき、$\frac{a}{1} = 1 \neq 2$ なので、条件を満たします。

したがって、$a=-2, 1$

(2) 2直線が垂直であるとき

2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ が垂直である条件は、

$aa' + bb' = 0$ です。

与えられた2つの直線 $2x + ay + 2 = 0$ と $(a+1)x + y + 1 = 0$ に対して、

$2(a+1) + a(1) = 0$

$2a + 2 + a = 0$

$3a = -2$

$a = -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 平行のとき: $a = -2, 1$

(2) 垂直のとき: $a = -\frac{2}{3}$