逆三角関数の主値を求める問題です。具体的には、$\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ と $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ を計算します。

1. 問題の内容

逆三角関数の主値を求める問題です。具体的には、$\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ と $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}$ と $\cos^{-1}$ の定義域と値域を確認します。

* $\sin^{-1}(x)$ の定義域は $[-1, 1]$ で、値域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ です。

* $\cos^{-1}(x)$ の定義域は $[-1, 1]$ で、値域は $[0, \pi]$ です。

まず、$\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ を求めます。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ の範囲で探します。

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$ となります。

次に、$\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ を求めます。

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を $[0, \pi]$ の範囲で探します。

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、

$\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3\pi}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$

$\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3\pi}{4}$