与えられた微分方程式 $y' - \frac{y}{\sin x} = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' - \frac{y}{\sin x} = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を書き換えます。

$y' = \frac{dy}{dx}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{\sin x}$

次に、変数分離を行います。両辺を $y$ で割り、$dx$ を右辺にかけます。

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{\sin x}$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{\sin x}$

左辺の積分は $\ln |y|$ となります。

$\ln |y| = \int \frac{dx}{\sin x}$

右辺の積分を計算します。$\sin x = 2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})$ を用いて、

$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{dx}{2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})} = \int \frac{1}{2 \tan(\frac{x}{2}) \cos^2(\frac{x}{2})} dx = \int \frac{1}{2 \tan(\frac{x}{2})} \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} dx$

ここで、$u = \tan(\frac{x}{2})$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$ より、 $du = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}dx$ となります。

$\int \frac{1}{\tan(\frac{x}{2})} \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C_1 = \ln |\tan(\frac{x}{2})| + C_1$

よって、

$\ln |y| = \ln |\tan(\frac{x}{2})| + C_1$

両辺の指数関数をとります。

$|y| = e^{\ln |\tan(\frac{x}{2})| + C_1} = e^{\ln |\tan(\frac{x}{2})|} e^{C_1} = |\tan(\frac{x}{2})| e^{C_1}$

ここで、$C = e^{C_1}$ （ただし、$C \neq 0$）とおくと、

$y = C \tan(\frac{x}{2})$

3. 最終的な答え

$y = C \tan(\frac{x}{2})$