与えられた三角関数の式を、1つのsin関数で表す問題です。具体的には、以下の4つの式をそれぞれ $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。 * $\cos \theta$ * $\sin \theta + \cos \theta$ * $\sqrt{6}\sin \theta - 3\sqrt{2} \cos \theta$ * $\sin(\frac{\pi}{6} - \theta) - \cos \theta$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を、1つのsin関数で表す問題です。具体的には、以下の4つの式をそれぞれ $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。

* $\cos \theta$

* $\sin \theta + \cos \theta$

* $\sqrt{6}\sin \theta - 3\sqrt{2} \cos \theta$

* $\sin(\frac{\pi}{6} - \theta) - \cos \theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式 $a\sin \theta + b\cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$ を利用します。ここで、$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ です。

(1) $\cos \theta$ の場合

$\cos \theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ と変形できます。なぜなら、$\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - (-\theta))$ だからです。

$\cos \theta = 1 \cdot \sin \theta + 0 \cdot \cos \theta$と考えることもできます。

このとき $a = 0, b = 1$ なので、$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$。

$\cos \alpha = \frac{0}{1} = 0$, $\sin \alpha = \frac{1}{1} = 1$ となり、$\alpha = \frac{\pi}{2}$。

よって $\cos \theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$。

(2) $\sin \theta + \cos \theta$ の場合

$a = 1, b = 1$ なので、$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、$\alpha = \frac{\pi}{4}$。

よって $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$。

(3) $\sqrt{6}\sin \theta - 3\sqrt{2} \cos \theta$ の場合

$a = \sqrt{6}, b = -3\sqrt{2}$ なので、$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-3\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 18} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{-3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{-3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ となり、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$。

よって $\sqrt{6}\sin \theta - 3\sqrt{2} \cos \theta = 2\sqrt{6}\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$。

(4) $\sin(\frac{\pi}{6} - \theta) - \cos \theta$ の場合

まず、$\sin(\frac{\pi}{6} - \theta)$ を展開します。

$\sin(\frac{\pi}{6} - \theta) = \sin \frac{\pi}{6} \cos \theta - \cos \frac{\pi}{6} \sin \theta = \frac{1}{2}\cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta$

したがって、

$\sin(\frac{\pi}{6} - \theta) - \cos \theta = \frac{1}{2}\cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta - \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta - \frac{1}{2}\cos \theta$

$a = -\frac{\sqrt{3}}{2}, b = -\frac{1}{2}$ なので、$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$。

$\cos \alpha = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}$ となり、$\alpha = -\frac{5\pi}{6}$。

よって $\sin(\frac{\pi}{6} - \theta) - \cos \theta = \sin(\theta - \frac{5\pi}{6})$。または $\sin(\theta + \frac{7\pi}{6})$とも表現できます。

3. 最終的な答え

* $\cos \theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$

* $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

* $\sqrt{6}\sin \theta - 3\sqrt{2} \cos \theta = 2\sqrt{6}\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

* $\sin(\frac{\pi}{6} - \theta) - \cos \theta = \sin(\theta - \frac{5\pi}{6})$