$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、基本的な極限として知られています。

ロピタルの定理を使う方法と、幾何学的な考察を使う方法があります。

(a) ロピタルの定理を使う場合:

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ および $x \to 0$ となるため、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。ロピタルの定理によれば、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \sin x}{\frac{d}{dx} x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$

(b) 幾何学的な考察を使う場合:

単位円において、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、扇形の面積、三角形の面積、別の三角形の面積を比較します。

扇形の面積は $\frac{1}{2}x$ であり、三角形の面積は $\frac{1}{2} \sin x$ であり、もう一つの三角形の面積は $\frac{1}{2} \tan x$ です。

したがって、$\frac{1}{2} \sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x$ となります。

各項を $\frac{1}{2} \sin x$ で割ると、

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$

逆数を取ると、

$1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x$

$x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ となるので、挟み撃ちの原理により、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

3. 最終的な答え

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