逆正接関数 $\arctan(x)$ の微分 $\frac{d}{dx}(\arctan(x))$ を求めよ。

1. 問題の内容

逆正接関数 $\arctan(x)$ の微分 $\frac{d}{dx}(\arctan(x))$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = \arctan(x)$ とおくと、

$\tan(y) = x$

この両辺を$x$で微分する。

$\frac{d}{dx}(\tan(y)) = \frac{d}{dx}(x)$

$\frac{d}{dy}(\tan(y))\frac{dy}{dx} = 1$

$\sec^2(y) \frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)}$

$\sec^2(y) = 1 + \tan^2(y)$ であるから

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2(y)}$

$\tan(y) = x$ であったので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

よって、

$\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1+x^2}$