$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、次の方程式と不等式を解きます。 (1) $2\cos x - \sqrt{3} = 0$ (2) $\sqrt{2} \sin x \le 1$ (3) $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$ (4) $\sin 2x = \sin x$ (5) $2\cos^2 x + 3\cos x - 2 < 0$ (6) $\sqrt{3} \sin x - \cos x > 1$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、次の方程式と不等式を解きます。

(1) $2\cos x - \sqrt{3} = 0$

(2) $\sqrt{2} \sin x \le 1$

(3) $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$

(4) $\sin 2x = \sin x$

(5) $2\cos^2 x + 3\cos x - 2 < 0$

(6) $\sqrt{3} \sin x - \cos x > 1$

2. 解き方の手順

(1)

$2\cos x - \sqrt{3} = 0$ より、$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ は、

$x = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(2)

$\sqrt{2} \sin x \le 1$ より、$\sin x \le \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$。

$\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $x$ の範囲は、

$0 \le x \le \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \le x < 2\pi$

(3)

$\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を代入すると、

$2\cos^2 x - 1 - 3\cos x + 2 = 0$

$2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

$(2\cos x - 1)(\cos x - 1) = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}, 1$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

$\cos x = 1$ を満たす $x$ は $x = 0$。

したがって、$x = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(4)

$\sin 2x = \sin x$

$2\sin x \cos x = \sin x$

$2\sin x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x(2\cos x - 1) = 0$

$\sin x = 0$ または $\cos x = \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\sin x = 0$ を満たす $x$ は $x = 0, \pi$。

$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

したがって、$x = 0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(5)

$2\cos^2 x + 3\cos x - 2 < 0$

$(2\cos x - 1)(\cos x + 2) < 0$

$\cos x + 2 > 0$ であるから、

$2\cos x - 1 < 0$

$\cos x < \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

$\cos x < \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は、

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$

(6)

$\sqrt{3} \sin x - \cos x > 1$

$2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x) > 1$

$2(\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6}) > 1$

$2\sin(x - \frac{\pi}{6}) > 1$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) > \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$。

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$。

$\sin \theta > \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$。

したがって、$\frac{\pi}{6} < x - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{3} < x < \pi$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \le x < 2\pi$

(3) $x = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(4) $x = 0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(5) $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$

(6) $\frac{\pi}{3} < x < \pi$