3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の極大値および極小値とその時の $x$ の値を求める。 (2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を全て求める。 (3) $0 \le a \le 1$ において、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフを書き、その最大値を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の極大値および極小値とその時の $x$ の値を求める。

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を全て求める。

(3) $0 \le a \le 1$ において、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフを書き、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ とする。

$f''(x) = 6x - 6$

$f''(x_1) = 6(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = -2\sqrt{3} < 0$ より、$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ で極大となる。

$f''(x_2) = 6(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = 2\sqrt{3} > 0$ より、$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ で極小となる。

$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9}\sqrt{3} \approx 0.385$

$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1+\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1+\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{2}{9}\sqrt{3} \approx -0.385$

(2)

$f(a) = f(2a)$ を満たす $a$ を求める。

$a^3 - 3a^2 + 2a = (2a)^3 - 3(2a)^2 + 2(2a)$

$a^3 - 3a^2 + 2a = 8a^3 - 12a^2 + 4a$

$0 = 7a^3 - 9a^2 + 2a$

$0 = a(7a^2 - 9a + 2)$

$0 = a(7a - 2)(a - 1)$

$a = 0, a = \frac{2}{7}, a = 1$

(3)

$0 \le a \le 1$ の範囲で、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値 $g(a)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$ となる $x$ は $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x_1 = 1-\frac{\sqrt{3}}{3}, x_2 = 1+\frac{\sqrt{3}}{3}$

$g(a) = \begin{cases}

f(2a) & 0 \le a \le x_1 \\

f(x_1) & x_1 \le a \le 1/2 \\

f(a) & 1/2 \le a \le 1

\end{cases} $

$g(a)$ の最大値は $f(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9}\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ で極大値 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとり、$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ で極小値 $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとる。

(2) $a = 0, \frac{2}{7}, 1$

(3) $g(a)$ のグラフの最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$