正の整数 $m$ と、定数関数でない $x$ の整式で表された関数 $P(x)$ が、すべての実数 $x$ に対して、$\int_{0}^{x} \{P(t)\}^m dt = P(x^3) - P(0)$ を満たすとき、$P(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

正の整数 $m$ と、定数関数でない $x$ の整式で表された関数 $P(x)$ が、すべての実数 $x$ に対して、$\int_{0}^{x} \{P(t)\}^m dt = P(x^3) - P(0)$ を満たすとき、$P(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分方程式の両辺を $x$ で微分します。微分の基本定理より、

$$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \{P(t)\}^m dt = \{P(x)\}^m$$

また、右辺は合成関数の微分より、

$$\frac{d}{dx} \{P(x^3) - P(0)\} = P'(x^3) \cdot 3x^2$$

したがって、

$$\{P(x)\}^m = 3x^2 P'(x^3)$$

次に、$x=0$ を代入します。すると、

$$\{P(0)\}^m = 3 \cdot 0^2 \cdot P'(0) = 0$$

よって、$P(0) = 0$ が得られます。

さらに、$P(x)$ が整式なので、$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ とおけます。ここで、$P(0) = 0$ より、$a_0 = 0$ です。したがって、$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x$ となります。

条件より、$\int_{0}^{x} \{P(t)\}^m dt = P(x^3)$ が成り立ちます。

$P(x)$ の次数を $n$ とすると、$\{P(x)\}^m$ の次数は $mn$ となり、$\int_{0}^{x} \{P(t)\}^m dt$ の次数は $mn+1$ となります。

一方、$P(x^3)$ の次数は $3n$ です。したがって、$mn+1 = 3n$ が成り立ちます。

これを整理すると、$n(3-m) = 1$ となります。$m$ は正の整数であり、$n$ も正の整数なので、$3-m$ は $1$ の約数でなければなりません。

$3-m=1$ のとき、$m=2$、$n=1$ となります。

$3-m=-1$ のとき、$m=4$、$n=-1$ となりますが、$n$ は正の整数なので不適です。

したがって、$m=2$、$n=1$ となります。$P(x) = ax$ とおきます。

与えられた条件に代入すると、$\int_{0}^{x} (at)^2 dt = a(x^3)$ となります。

$$\int_{0}^{x} a^2 t^2 dt = \left[ \frac{a^2}{3} t^3 \right]_0^x = \frac{a^2}{3} x^3$$

よって、$\frac{a^2}{3} x^3 = a x^3$ となり、$\frac{a^2}{3} = a$ となります。

$a \neq 0$ より、$a = 3$ が得られます。

したがって、$P(x) = 3x$ となります。

3. 最終的な答え

$P(x) = 3x$