与えられた12個の関数 $f(x)$ に対して、それぞれの導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた12個の関数 $f(x)$ に対して、それぞれの導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の微分公式や法則を適用して導関数を求めます。

* 定数倍の微分: $(cf(x))' = cf'(x)$

* 和の微分: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

* 積の微分: $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

* 商の微分: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

* 合成関数の微分 (チェーンルール): $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$

* $x^n$ の微分: $(x^n)' = nx^{n-1}$

* $\sqrt{x}$ の微分: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

各関数の導関数は以下のようになります。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2+1) - 1 \cdot (2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot (2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

(3) $f(x) = \frac{x+2}{x^2+1}$

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x+2) \cdot (2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2 - 4x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2-4x+1}{(x^2+1)^2}$

(4) $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+x+1}$

$f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2+x+1) - (2x+1) \cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{2x^2+2x+2 - (4x^2+4x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-2x^2-2x+1}{(x^2+x+1)^2}$

(5) $f(x) = x^2(5x^3+3)$

$f(x) = 5x^5 + 3x^2$

$f'(x) = 25x^4 + 6x$

(6) $f(x) = x^2(5x^3+3)^5$

$f'(x) = 2x(5x^3+3)^5 + x^2 \cdot 5(5x^3+3)^4 \cdot (15x^2) = 2x(5x^3+3)^5 + 75x^4(5x^3+3)^4 = x(5x^3+3)^4 [2(5x^3+3) + 75x^3] = x(5x^3+3)^4 (85x^3+6)$

(7) $f(x) = (x^2+3x+2)(x^2-1)$

$f'(x) = (2x+3)(x^2-1) + (x^2+3x+2)(2x) = 2x^3-2x+3x^2-3 + 2x^3+6x^2+4x = 4x^3+9x^2+2x-3$

(8) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2+x}$

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (2+x) - \sqrt{x} \cdot 1}{(2+x)^2} = \frac{\frac{2+x}{2\sqrt{x}} - \frac{2x}{2\sqrt{x}}}{(2+x)^2} = \frac{2+x-2x}{2\sqrt{x}(2+x)^2} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(2+x)^2}$

(9) $f(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{\sqrt{x}+1 - (\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{2}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{x}(x+2\sqrt{x}+1)}$

(10) $f(x) = x\sqrt{x^2+1}$

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x^2+1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2+1+x^2}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}$

(11) $f(x) = x\sqrt{x-1}$

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x-1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x-1} + \frac{x}{2\sqrt{x-1}} = \frac{2(x-1)+x}{2\sqrt{x-1}} = \frac{3x-2}{2\sqrt{x-1}}$

(12) $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}} \cdot \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}} \cdot \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}(x+1)^2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}(x+1)^2} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}(x+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{x-1}(x+1)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$

(2) $f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

(3) $f'(x) = \frac{-x^2-4x+1}{(x^2+1)^2}$

(4) $f'(x) = \frac{-2x^2-2x+1}{(x^2+x+1)^2}$

(5) $f'(x) = 25x^4 + 6x$

(6) $f'(x) = x(5x^3+3)^4 (85x^3+6)$

(7) $f'(x) = 4x^3+9x^2+2x-3$

(8) $f'(x) = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(2+x)^2}$

(9) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(x+2\sqrt{x}+1)}$

(10) $f'(x) = \frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}$

(11) $f'(x) = \frac{3x-2}{2\sqrt{x-1}}$

(12) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}(x+1)^{3/2}}$