与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。全部で12個の関数について計算する必要があります。ここでは、例として(1),(2),(3)の導関数を求めます。 (1) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ (2) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ (3) $f(x) = \frac{x+2}{x^2 + 1}$

はい、承知いたしました。問題の内容と解き方、最終的な答えを記述します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。全部で12個の関数について計算する必要があります。ここでは、例として(1),(2),(3)の導関数を求めます。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$

(2) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$

(3) $f(x) = \frac{x+2}{x^2 + 1}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ の導関数を求める。

これは合成関数の微分として計算できます。$u = x^2 + 1$ とすると、$f(x) = \frac{1}{u}$ となり、$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を利用します。

$\frac{df}{du} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$f'(x) = -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ の導関数を求める。

これは商の微分 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用します。

$u = x$, $v = x^2 + 1$ とすると、

$u' = 1$, $v' = 2x$

よって、

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2}$

(3) $f(x) = \frac{x+2}{x^2 + 1}$ の導関数を求める。

これも商の微分 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用します。

$u = x+2$, $v = x^2 + 1$ とすると、

$u' = 1$, $v' = 2x$

よって、

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - (x+2) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 4x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 - 4x + 1}{(x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

(2) $f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

(3) $f'(x) = \frac{-x^2 - 4x + 1}{(x^2 + 1)^2}$