$(x - 2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x - 2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を求めます。

$(x - 2y)^5$ の展開式の一般項は、

$${}_5C_k x^{5-k} (-2y)^k$$

と表されます。ここで、$k$ は 0 から 5 までの整数です。

$x^2y^3$ の項を求めるためには、$x^{5-k}$ の指数が 2 で、$y^k$ の指数が 3 である必要があります。

したがって、$5 - k = 2$ かつ $k = 3$ となる $k$ を探します。

$k = 3$ であることがわかります。

$k = 3$ を一般項に代入すると、

$${}_5C_3 x^{5-3} (-2y)^3 = {}_5C_3 x^2 (-2)^3 y^3$$

となります。

二項係数 ${}_5C_3$ を計算します。

$${}_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

したがって、$x^2y^3$ の項は、

$$10 x^2 (-8) y^3 = -80 x^2 y^3$$

となります。

3. 最終的な答え

$x^2y^3$ の係数は -80 です。