半径4cmの半円Oが直線l上を滑ることなく1回転して半円O'の位置に止まった。 (1) 点Oが動いてできる線の長さを求めなさい。 (2) 点Oが動いてできる線と直線lで囲まれた部分の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

半径4cmの半円Oが直線l上を滑ることなく1回転して半円O'の位置に止まった。

(1) 点Oが動いてできる線の長さを求めなさい。

(2) 点Oが動いてできる線と直線lで囲まれた部分の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点Oが動いてできる線の長さを求める。

点Oは、半円が回転する際に、半円の中心から一定の距離（半径4cm）を保ちながら動く。

直線部分の長さは、半円が半回転する際に移動する距離に等しく、これは半円の直径に相当する。半円の直径は $4 \times 2 = 8$ cmである。

半円が回転する際、点Oは2つの四分円弧を描く。2つの四分円弧を合わせると半径4cmの半円になる。

したがって、点Oが動いてできる線の長さは、直線部分の長さ（8cm）と半径4cmの半円の弧の長さを足したものになる。

半径4cmの円周の長さは $2 \pi r = 2 \pi \times 4 = 8\pi$ cmである。

半円の弧の長さは、円周の半分なので、 $8\pi / 2 = 4\pi$ cmである。

したがって、点Oが動いてできる線の長さは、$8 + 4\pi$ cmとなる。

(2) 点Oが動いてできる線と直線lで囲まれた部分の面積を求める。

囲まれた部分は、長方形と半円で構成されている。

長方形の幅は半円の直径である8cmであり、高さは半円の半径である4cmである。

長方形の面積は $8 \times 4 = 32$ 平方cmである。

半円の半径は4cmなので、半円の面積は $(\pi r^2) / 2 = (\pi \times 4^2) / 2 = (16\pi) / 2 = 8\pi$ 平方cmである。

したがって、囲まれた部分の面積は $32 + 8\pi$ 平方cmとなる。

3. 最終的な答え

(1) 点Oが動いてできる線の長さ: $8 + 4\pi$ cm

(2) 点Oが動いてできる線と直線lで囲まれた部分の面積: $32 + 8\pi$ 平方cm