与えられた関数 $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + 1$ について、増減表を作成し、極値を求め、グラフを描画する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + 1$ について、増減表を作成し、極値を求め、グラフを描画する。

2. 解き方の手順

(1) 増減表の作成

まず、与えられた関数を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$$f'(x) = -2x^2 + 5x + 3$$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$$-2x^2 + 5x + 3 = 0$$

$$2x^2 - 5x - 3 = 0$$

$$(2x + 1)(x - 3) = 0$$

よって、$x = -\frac{1}{2}, 3$ となります。

次に、増減表を作成します。増減表は、$x$、$f'(x)$、$f(x)$ の行で構成され、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値とその前後の区間における $f'(x)$ の符号を調べ、$f(x)$ の増減を決定します。

| x | ... | -1/2 | ... | 3 | ... |

| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

(2) 極値の計算

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、

$$f(-\frac{1}{2}) = -\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) + \frac{5}{2}(\frac{1}{4}) + 3(-\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{12} + \frac{5}{8} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{2 + 15 - 36 + 24}{24} = \frac{5}{24}$$

$x = 3$ のとき、

$$f(3) = -\frac{2}{3}(27) + \frac{5}{2}(9) + 3(3) + 1 = -18 + \frac{45}{2} + 9 + 1 = -8 + \frac{45}{2} = \frac{-16 + 45}{2} = \frac{29}{2}$$

したがって、極小値は $\frac{5}{24}$、極大値は $\frac{29}{2}$ です。

(3) グラフの描画

グラフは、極値と増減表をもとに描画します。$x$ が $-\frac{1}{2}$ より小さいときは減少、$x = -\frac{1}{2}$ で極小値をとり、$-\frac{1}{2}$ より大きく $3$ より小さいときは増加、$x = 3$ で極大値をとり、$x$ が $3$ より大きいときは減少します。

3. 最終的な答え

(1) 増減表

| x | ... | -1/2 | ... | 3 | ... |

| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

(2) 極値

極小値: $f(-\frac{1}{2}) = \frac{5}{24}$

極大値: $f(3) = \frac{29}{2}$

(3) グラフ (グラフの図示は省略。増減表と極値に基づいて概形を描画)