関数 $f(x) = -x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 10x - 3$ について、増減表を作成し、極値を求め、グラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 10x - 3$ について、増減表を作成し、極値を求め、グラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 増減表の作成

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -3x^2 - x + 10$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 - x + 10 = 0$

$3x^2 + x - 10 = 0$

$(3x - 5)(x + 2) = 0$

したがって、$x = \frac{5}{3}, -2$ が $f'(x) = 0$ となる点です。

これらの $x$ の値を境にして $f'(x)$ の符号を調べます。

$x < -2$ のとき、$f'(-3) = -3(-3)^2 - (-3) + 10 = -27 + 3 + 10 = -14 < 0$

$-2 < x < \frac{5}{3}$ のとき、$f'(0) = -3(0)^2 - 0 + 10 = 10 > 0$

$x > \frac{5}{3}$ のとき、$f'(2) = -3(2)^2 - 2 + 10 = -12 - 2 + 10 = -4 < 0$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -2 | ... | 5/3 | ... |

| :-- | :--- | :-- | :--- | :-- | :-- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

(2) 極値を求める

$x = -2$ のとき、$f(-2) = -(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 + 10(-2) - 3 = 8 - 2 - 20 - 3 = -17$

$x = \frac{5}{3}$ のとき、$f(\frac{5}{3}) = -(\frac{5}{3})^3 - \frac{1}{2}(\frac{5}{3})^2 + 10(\frac{5}{3}) - 3 = -\frac{125}{27} - \frac{25}{18} + \frac{50}{3} - 3 = \frac{-250 - 75 + 900 - 162}{54} = \frac{413}{54}$

したがって、極小値は $f(-2) = -17$, 極大値は $f(\frac{5}{3}) = \frac{413}{54}$

(3) グラフを描く

増減表と極値に基づいてグラフを描きます。

$x$ が十分大きいとき、$f(x)$ は $-\infty$ に近づき、$x$ が十分小さいとき、$f(x)$ は $+\infty$ に近づきます。

また、$y$切片は$f(0) = -3$です。

3. 最終的な答え

(1) 増減表

| x | ... | -2 | ... | 5/3 | ... |

| :-- | :--- | :-- | :--- | :-- | :-- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

(2) 極小値: $f(-2) = -17$, 極大値: $f(\frac{5}{3}) = \frac{413}{54}$

(3) グラフは省略します。増減表と極値、y切片($-3$)をもとに描画してください。