与えられた分数の引き算 $\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}$ を計算し、結果をできるだけ簡潔な形にすること。

1. 問題の内容

与えられた分数の引き算 $\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}$ を計算し、結果をできるだけ簡潔な形にすること。

2. 解き方の手順

まず、二つの分数を共通の分母で通分します。共通の分母は $(x-y)(x+y)$ です。

$\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

次に、分子を展開します。

$(x+y)(x+y) = x^2 + 2xy + y^2$

$(x-y)(x-y) = x^2 - 2xy + y^2$

したがって、

$\frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2 + 2xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)}{(x-y)(x+y)}$

分子の引き算を行います。

$x^2 + 2xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy$

分母を展開します。

$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$

したがって、

$\frac{4xy}{x^2 - y^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4xy}{x^2 - y^2}$