頂点の $x$ 座標が $-2$ で、最大値が $15$ である放物線が、点 $(1, -3)$ を通る時の放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

頂点の $x$ 座標が $-2$ で、最大値が $15$ である放物線が、点 $(1, -3)$ を通る時の放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

放物線の頂点が $(-2, 15)$ であることから、放物線の方程式は、ある定数 $a$ を用いて

$y = a(x + 2)^2 + 15$

と表せる。

この放物線が点 $(1, -3)$ を通るので、$x = 1, y = -3$ を代入して $a$ を求める。

$-3 = a(1 + 2)^2 + 15$

$-3 = a(3)^2 + 15$

$-3 = 9a + 15$

$9a = -18$

$a = -2$

よって、放物線の方程式は

$y = -2(x + 2)^2 + 15$

これを展開すると

$y = -2(x^2 + 4x + 4) + 15$

$y = -2x^2 - 8x - 8 + 15$

$y = -2x^2 - 8x + 7$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 - 8x + 7$