(1) 実数 $x, y$ が $2x + y = 1$ を満たすとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求めよ。 (2) 実数 $x, y$ が $x + 2y + 3 = 0$ を満たすとき、$xy$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 実数 $x, y$ が $2x + y = 1$ を満たすとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求めよ。

(2) 実数 $x, y$ が $x + 2y + 3 = 0$ を満たすとき、$xy$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$2x + y = 1$ より $y = 1 - 2x$ である。

これを $x^2 + y^2$ に代入すると、

\begin{align*}

x^2 + y^2 &= x^2 + (1 - 2x)^2 \\

&= x^2 + 1 - 4x + 4x^2 \\

&= 5x^2 - 4x + 1 \\

&= 5(x^2 - \frac{4}{5}x) + 1 \\

&= 5(x - \frac{2}{5})^2 - 5(\frac{2}{5})^2 + 1 \\

&= 5(x - \frac{2}{5})^2 - \frac{4}{5} + 1 \\

&= 5(x - \frac{2}{5})^2 + \frac{1}{5}

\end{align*}

$x$ は実数なので、$5(x - \frac{2}{5})^2 \geq 0$ である。

したがって、$x^2 + y^2$ は $x = \frac{2}{5}$ のとき最小値 $\frac{1}{5}$ をとる。

このとき、$y = 1 - 2(\frac{2}{5}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ である。

(2)

$x + 2y + 3 = 0$ より $x = -2y - 3$ である。

これを $xy$ に代入すると、

\begin{align*}

xy &= (-2y - 3)y \\

&= -2y^2 - 3y \\

&= -2(y^2 + \frac{3}{2}y) \\

&= -2(y + \frac{3}{4})^2 + 2(\frac{3}{4})^2 \\

&= -2(y + \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8}

\end{align*}

$y$ は実数なので、$-2(y + \frac{3}{4})^2 \leq 0$ である。

したがって、$xy$ は $y = -\frac{3}{4}$ のとき最大値 $\frac{9}{8}$ をとる。

このとき、$x = -2(-\frac{3}{4}) - 3 = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $\frac{1}{5}$

(2) 最大値: $\frac{9}{8}$