画像には、次の2つのタイプの問題があります。 (1) 分数を循環小数で表す問題 (2) 循環小数を分数で表す問題

1. 問題の内容

画像には、次の2つのタイプの問題があります。

(1) 分数を循環小数で表す問題

(2) 循環小数を分数で表す問題

2. 解き方の手順

(1) 分数を循環小数で表す問題

分数を与えられた数で割って、小数点以下の数字が繰り返されるパターンを見つけます。繰り返される数字の上に点を書きます。

(2) 循環小数を分数で表す問題

循環小数を $x$ とします。小数の循環部分が小数点以下になるように、$x$ に10の累乗を掛けます。次に、元の式から新しい式を引くことによって、循環部分を取り除くことができます。最後に、残りの $x$ について解きます。

**問題1(1): $\frac{11}{3}$**

$11 \div 3 = 3.666...$

循環小数として表現すると、$3.\dot{6}$ となります。

**問題1(2): $\frac{8}{33}$**

$8 \div 33 = 0.242424...$

循環小数として表現すると、$0.\dot{2}\dot{4}$ となります。

**問題1(3): $\frac{53}{37}$**

$53 \div 37 = 1.432432...$

循環小数として表現すると、$1.\dot{4}3\dot{2}$ となります。

**問題2(1): $0.\dot{4}$**

$x = 0.444...$ とします。

$10x = 4.444...$

$10x - x = 4.444... - 0.444...$

$9x = 4$

$x = \frac{4}{9}$

**問題2(2): $0.\dot{2}\dot{3}$**

$x = 0.2323...$ とします。

$100x = 23.2323...$

$100x - x = 23.2323... - 0.2323...$

$99x = 23$

$x = \frac{23}{99}$

**問題2(3): $1.\dot{3}4\dot{2}$**

$x = 1.342342...$ とします。

$1000x = 1342.342342...$

$1000x - x = 1342.342342... - 1.342342...$

$999x = 1341$

$x = \frac{1341}{999} = \frac{447}{333} = \frac{149}{111} = \frac{1342-1}{999}$ と計算されているが、正しくは $x = \frac{1341}{999} = \frac{447}{333} = \frac{149}{111} = 1 + \frac{38}{111}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $3.\dot{6}$

(2) $0.\dot{2}\dot{4}$

(3) $1.\dot{4}3\dot{2}$

問題2:

(1) $\frac{4}{9}$

(2) $\frac{23}{99}$

(3) $\frac{1341}{999} = \frac{447}{333} = \frac{149}{111}$