和が1、積が2となる2つの数を求めよ。

1. 問題の内容

和が1、積が2となる2つの数を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの数を $x$ と $y$ とする。

問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

$x + y = 1$

$xy = 2$

1つ目の式から、$y = 1 - x$と表せる。

これを2つ目の式に代入する。

$x(1 - x) = 2$

$x - x^2 = 2$

$x^2 - x + 2 = 0$

この二次方程式を解くために、解の公式を使う。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a = 1, b = -1, c = 2$ なので、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2}$

$x = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

したがって、$x = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$または$x = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$となる。

$y = 1 - x$ であるから、

$x = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$のとき、$y = 1 - \frac{1 + i\sqrt{7}}{2} = \frac{2 - 1 - i\sqrt{7}}{2} = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$のとき、$y = 1 - \frac{1 - i\sqrt{7}}{2} = \frac{2 - 1 + i\sqrt{7}}{2} = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

求める2つの数は、$\frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$と$\frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$である。