与えられた関数 $f(x) = e^{-x} \sin x$ (ただし $x > 0$) について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。 (2) 方程式 $f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つとき、$a$ の値の範囲を求めます。ただし、$a > 0$ とします。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = e^{-x} \sin x$ (ただし $x > 0$) について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

(2) 方程式 $f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つとき、$a$ の値の範囲を求めます。ただし、$a > 0$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x} > 0$ より、$\cos x - \sin x = 0$ すなわち $\cos x = \sin x$ を解きます。

これは $\tan x = 1$ と同値なので、$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ ($n$ は0以上の整数) となります。

次に、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, ...$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(\frac{\pi}{4}) = e^{-\frac{\pi}{4}} \sin \frac{\pi}{4} = e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

$f(\frac{5\pi}{4}) = e^{-\frac{5\pi}{4}} \sin \frac{5\pi}{4} = -e^{-\frac{5\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

$f(\frac{9\pi}{4}) = e^{-\frac{9\pi}{4}} \sin \frac{9\pi}{4} = e^{-\frac{9\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

一般に、$f(\frac{\pi}{4} + n\pi) = e^{-(\frac{\pi}{4} + n\pi)} \sin(\frac{\pi}{4} + n\pi) = (-1)^n e^{-(\frac{\pi}{4} + n\pi)} \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

$x > 0$ であり、$e^{-x}$ が減少関数であることから、$f(x)$ の最大値は $x = \frac{\pi}{4}$ のときにとり、最大値は $e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

最小値は存在しません（$x$ が大きくなるにつれて0に近づくため）。

$x \to \infty$ で $f(x) \to 0$ となり，$x= \frac{5\pi}{4}$ で $f(x)$ は負の値をとるため。

(2) $f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つときの $a$ の範囲を求めます。

$f(0) = 0$ であることと、$f(x)$ が $x = \frac{\pi}{4}$ で最大値をとることを考慮すると、$f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つためには、$0 < a < e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$ である必要があります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$ ($x = \frac{\pi}{4}$ のとき), 最小値: なし

(2) $0 < a < e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$