与えられた式を計算する問題です。 $$\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} - \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3}$$

1. 問題の内容

与えられた式を計算する問題です。

$$\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} - \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3}$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

$$\frac{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}-3)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-3)} - \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+1)}$$

$$=\frac{(\sqrt{5}-3)^2 - (\sqrt{5}+1)^2}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-3)}$$

次に、分子を展開します。

$$(\sqrt{5}-3)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(3) + 3^2 = 5 - 6\sqrt{5} + 9 = 14 - 6\sqrt{5}$$

$$(\sqrt{5}+1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(1) + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$$

次に、分母を展開します。

$$(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-3) = (\sqrt{5})^2 - 3\sqrt{5} + \sqrt{5} - 3 = 5 - 2\sqrt{5} - 3 = 2 - 2\sqrt{5}$$

分子に展開した結果を代入して計算します。

$$(14 - 6\sqrt{5}) - (6 + 2\sqrt{5}) = 14 - 6\sqrt{5} - 6 - 2\sqrt{5} = 8 - 8\sqrt{5}$$

したがって、

$$\frac{8 - 8\sqrt{5}}{2 - 2\sqrt{5}} = \frac{8(1 - \sqrt{5})}{2(1 - \sqrt{5})} = \frac{8}{2} = 4$$

3. 最終的な答え

4