$\int \cos^5 x \, dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int \cos^5 x \, dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$\cos^5 x = \cos^4 x \cdot \cos x = (\cos^2 x)^2 \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x)^2 \cdot \cos x$と変形する。

$\sin x = t$ と置換すると、$\cos x \, dx = dt$ となる。

よって、$\int \cos^5 x \, dx = \int (1 - \sin^2 x)^2 \cos x \, dx = \int (1 - t^2)^2 \, dt = \int (1 - 2t^2 + t^4) \, dt$

$\int (1 - 2t^2 + t^4) \, dt = t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5 + C$

$t = \sin x$ を代入する。

$t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5 + C = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C$

3. 最終的な答え

$\int \cos^5 x \, dx = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C$