大人3人と子ども3人が輪の形に並ぶとき、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は何通りあるかを求める。

はい、承知しました。数学の問題を解いていきます。

**問題1(1)**

1. 問題の内容

大人3人と子ども3人が輪の形に並ぶとき、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、大人3人を円形に並べる方法を考えます。円順列なので、$(3-1)! = 2! = 2$ 通りです。

次に、大人3人の間に子ども3人を並べる方法を考えます。これは3人の順列なので、$3! = 6$ 通りです。

したがって、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は、$2 \times 6 = 12$ 通りです。

3. 最終的な答え

12通り

**問題1(2)**

1. 問題の内容

大人3人と子ども3人が輪の形に並ぶとき、特定の子どもA, Bが隣り合う並び方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、子どもAとBを1つのグループとして考えます。すると、大人3人と子どもグループAB、残り子ども1人の合計5人を円形に並べることになります。これは円順列なので、$(5-1)! = 4! = 24$ 通りです。

次に、子どもAとBの並び方を考えます。A,B または B,A の2通りです。

したがって、子どもAとBが隣り合う並び方は、$24 \times 2 = 48$ 通りです。

3. 最終的な答え

48通り

**問題2(1)**

1. 問題の内容

議長、書記各1人、委員6人の計8人が円形のテーブルに着席するとき、議長、書記が真正面に向かい合う並び方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、議長の位置を固定します。円順列なので、誰かを固定して考えます。

次に、議長の真正面の席に書記を座らせます。これは1通りです。

残りの6人の委員を、残りの6席に並べる順列は $6! = 720$ 通りです。

3. 最終的な答え

720通り

**問題2(2)**

1. 問題の内容

議長、書記各1人、委員6人の計8人が円形のテーブルに着席するとき、議長、書記が隣り合わない並び方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、全体の並び方の総数を考えます。8人を円形に並べるので、$(8-1)! = 7! = 5040$ 通りです。

次に、議長と書記が隣り合う並び方を考えます。議長と書記を1つのグループとして考え、7人として円形に並べると、$(7-1)! = 6! = 720$ 通りです。議長と書記の並び方は2通りあるので、$720 \times 2 = 1440$ 通りです。

したがって、議長と書記が隣り合わない並び方は、$5040 - 1440 = 3600$ 通りです。

3. 最終的な答え

3600通り

**問題3**

1. 問題の内容

正四面体の4つの面に、赤、青、黄、緑の4色を1面ずつ塗るとき、異なる塗り方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、底面の色を固定します。どの色を底面にしても回転させると同じになるので、1通りです。

次に、残りの3つの側面を塗る方法を考えます。これは円順列と同じ考え方で、$(3-1)! = 2! = 2$ 通りです。ただし、正四面体をひっくり返すことができるので、側面を塗る順番を反転させても同じ塗り方とみなされます。したがって、$2/2 = 1$通りではなく、側面を塗る方法は順列で考えます。3つの側面の塗り方は $3! = 6$ 通りです。円順列ではないので、$6/3 = 2$ではありません。正四面体を回転させた時に同じ並びになるものを除外する必要があるため、3で割るという考え方は誤りです。

よって、考え方としては、ある1つの側面の色を固定して、残りの2つの側面の色の組み合わせを考えるという方法になります。すると、3色から2色を選ぶ順列である $_3P_2= 3\times2 =6$通りとなります。

3. 最終的な答え

6通り

**問題4**

1. 問題の内容

色の異なる7個の玉を糸でつないでブレスレットをつくる方法は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

7個の玉を円形に並べる順列は $(7-1)! = 6! = 720$ 通りです。

しかし、ブレスレットは裏返すことができるので、左右対称な並び方は同じものとみなします。したがって、ブレスレットの作り方は $720 / 2 = 360$ 通りです。

3. 最終的な答え

360通り