SENSEI AI
About App

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$ の極限を求める問題です。

解析学極限三角関数挟み撃ちの原理
2025/6/16

1. 問題の内容

lim⁡x→∞sin⁡3xx\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x} の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

sin⁡3x\sin 3x は常に −1-1 と 11 の間の値をとります。つまり、−1≤sin⁡3x≤1-1 \leq \sin 3x \leq 1 です。
したがって、sin⁡3xx\frac{\sin 3x}{x} は −1x\frac{-1}{x} と 1x\frac{1}{x} の間にあります。
xx が無限大に近づくとき、−1x\frac{-1}{x} と 1x\frac{1}{x} はどちらも 00 に近づきます。
したがって、挟み撃ちの原理より、lim⁡x→∞sin⁡3xx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x} = 0 となります。

3. 最終的な答え

lim⁡x→∞sin⁡3xx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x} = 0

「解析学」の関連問題

関数 $f(x) = \arcsin x$ のマクローリン級数とその収束半径を、以下の手順に従って求めます。 (1) $(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ が成り立つことを示し...

マクローリン級数微分収束半径ライプニッツの公式arcsin
2025/6/17

関数 $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ の増減と凹凸を調べ、変曲点と極値を求める問題です。ここで、変曲点とはグラフの凹凸が変わる点のことです。

関数の増減関数の凹凸極値変曲点微分指数関数
2025/6/17

与えられた関数 $y = \log 2x$ の微分を求める問題です。

微分対数関数合成関数
2025/6/17

与えられた等式 $4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ が正しいことを証明する問題です。

逆正接関数arctan加法定理三角関数等式の証明
2025/6/17

次の2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = x^{\frac{1}{6}}$ (2) $y = \sqrt[4]{x^3}$

微分指数関数累乗根
2025/6/17

次の関数を、導関数の定義に従って微分する問題です。 (1) $f(x) = x^2$ (2) $f(x) = \sqrt{x}$

微分導関数極限関数の微分
2025/6/17

以下の6つの三角関数の値を計算します。 (1) $tan(arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\pi}{2})$ (2) $cos(arcsin(-\frac{1}...

三角関数逆三角関数三角関数の合成
2025/6/17

xの関数yが、媒介変数tを用いて表されているとき、導関数 $\frac{dy}{dx}$ をtの関数として表す問題です。 問題は2つあります。 (1) $x = 3t - 2$, $y = t^2 +...

導関数媒介変数微分三角関数
2025/6/17

関数 $y = (x-1)^2 \sqrt[3]{x+2}$ を微分せよ。

微分導関数積の微分合成関数の微分
2025/6/17

問題は、逆三角関数$\arccos$と$\arctan$の定義を述べた上で、以下の2つの問題を解くことです。 (1) $\arccos(\sin(\frac{\pi}{5}))$の値を求める。 (2)...

逆三角関数arccosarctan三角関数加法定理証明
2025/6/17