複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 2\sqrt{6} - i$ が与えられたとき、以下の値を求めます。 (1) $|\alpha|$ (2) $|\alpha\beta|$ (3) $\alpha\overline{\alpha}$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 2\sqrt{6} - i$ が与えられたとき、以下の値を求めます。

(1) $|\alpha|$

(2) $|\alpha\beta|$

(3) $\alpha\overline{\alpha}$

2. 解き方の手順

(1) 複素数 $\alpha = a + bi$ の絶対値は $|\alpha| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で計算できます。

この問題では $a = 1$、$b = 2\sqrt{2}$ です。

(2) 複素数 $\alpha$ と $\beta$ の絶対値の積は、それぞれの絶対値の積と等しくなります。すなわち $|\alpha\beta| = |\alpha||\beta|$ です。 $|\alpha|$ は(1)で求めたので、 $|\beta|$ を求めれば良いです。複素数 $\beta = c + di$ の絶対値は $|\beta| = \sqrt{c^2 + d^2}$ で計算できます。この問題では $c = 2\sqrt{6}$、$d = -1$ です。

(3) 複素数 $\alpha = a + bi$ の共役複素数は $\overline{\alpha} = a - bi$ であり、$\alpha\overline{\alpha} = a^2 + b^2 = |\alpha|^2$ です。したがって、(1)で求めた $|\alpha|$ を二乗すれば答えになります。

(1)

$|\alpha| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 4 \cdot 2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$

(2)

$|\beta| = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 \cdot 6 + 1} = \sqrt{24 + 1} = \sqrt{25} = 5$

$|\alpha\beta| = |\alpha||\beta| = 3 \cdot 5 = 15$

(3)

$\alpha\overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 3^2 = 9$

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha| = 3$

(2) $|\alpha\beta| = 15$

(3) $\alpha\overline{\alpha} = 9$