次の式の展開式における指定された項の係数を求める問題です。 (1) $(x^2 - 2x)^5$ における $x^7$ の係数 (2) $(3x^2 + 1)^5$ における $x^6$ の係数

1. 問題の内容

次の式の展開式における指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(x^2 - 2x)^5$ における $x^7$ の係数

(2) $(3x^2 + 1)^5$ における $x^6$ の係数

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 - 2x)^5$ の展開式における $x^7$ の項の係数を求めます。

二項定理より、一般項は

$${}_5C_k (x^2)^{5-k} (-2x)^k = {}_5C_k x^{10-2k} (-2)^k x^k = {}_5C_k (-2)^k x^{10-k}$$

$x^7$ の項を見つけるために、$10 - k = 7$ となる $k$ を求めます。

$10 - k = 7$ より、$k = 3$ となります。

したがって、$x^7$ の項の係数は

$${}_5C_3 (-2)^3 = \frac{5!}{3!2!} \cdot (-8) = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot (-8) = 10 \cdot (-8) = -80$$

(2) $(3x^2 + 1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求めます。

二項定理より、一般項は

$${}_5C_k (3x^2)^k (1)^{5-k} = {}_5C_k 3^k x^{2k}$$

$x^6$ の項を見つけるために、$2k = 6$ となる $k$ を求めます。

$2k = 6$ より、$k = 3$ となります。

したがって、$x^6$ の項の係数は

$${}_5C_3 (3)^3 = \frac{5!}{3!2!} \cdot 27 = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 27 = 10 \cdot 27 = 270$$

3. 最終的な答え

(1) $x^7$ の係数は $-80$

(2) $x^6$ の係数は $270$