(1) 定積分 $\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} dx$ を求めよ。 (2) 定積分 $\int_{0}^{1} x^2 \sqrt{e^x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} dx$ を求めよ。

(2) 定積分 $\int_{0}^{1} x^2 \sqrt{e^x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を2回行う。

$u=x^2$, $dv=e^{2x}dx$ とすると $du=2xdx$, $v=\frac{1}{2}e^{2x}$ より

$\int x^2 e^{2x} dx = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \int x e^{2x} dx$

さらに、$u=x$, $dv=e^{2x}dx$ とすると $du=dx$, $v=\frac{1}{2}e^{2x}$ より

$\int x e^{2x} dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$

よって、

$\int x^2 e^{2x} dx = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - (\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}) + C = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} \right]_{0}^{1} = (\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{4}e^2) - (0 - 0 + \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} = \frac{e^2-1}{4}$

(2) $\sqrt{e^x} = e^{\frac{x}{2}}$ なので、$\int x^2 \sqrt{e^x} dx = \int x^2 e^{\frac{x}{2}} dx$ を計算する。

部分積分を2回行う。

$u=x^2$, $dv=e^{\frac{x}{2}}dx$ とすると $du=2xdx$, $v=2e^{\frac{x}{2}}$ より

$\int x^2 e^{\frac{x}{2}} dx = 2x^2 e^{\frac{x}{2}} - \int 4x e^{\frac{x}{2}} dx$

さらに、$u=4x$, $dv=e^{\frac{x}{2}}dx$ とすると $du=4dx$, $v=2e^{\frac{x}{2}}$ より

$\int 4x e^{\frac{x}{2}} dx = 8x e^{\frac{x}{2}} - \int 8 e^{\frac{x}{2}} dx = 8x e^{\frac{x}{2}} - 16 e^{\frac{x}{2}} + C$

よって、

$\int x^2 e^{\frac{x}{2}} dx = 2x^2 e^{\frac{x}{2}} - (8x e^{\frac{x}{2}} - 16 e^{\frac{x}{2}}) + C = 2x^2 e^{\frac{x}{2}} - 8x e^{\frac{x}{2}} + 16 e^{\frac{x}{2}} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} x^2 e^{\frac{x}{2}} dx = \left[ 2x^2 e^{\frac{x}{2}} - 8x e^{\frac{x}{2}} + 16 e^{\frac{x}{2}} \right]_{0}^{1} = (2e^{\frac{1}{2}} - 8e^{\frac{1}{2}} + 16e^{\frac{1}{2}}) - (0 - 0 + 16) = 10e^{\frac{1}{2}} - 16 = 10\sqrt{e} - 16$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{e^2-1}{4}$

(2) $10\sqrt{e}-16$