関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ の極値を求め、そのグラフをかく。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。まず、問題1から解いていきましょう。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ の極値を求め、そのグラフをかく。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

したがって、$x = 1, 3$

(3) 第二次導関数を求める。

$f''(x) = 6x - 12$

(4) 極値を判定する。

$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ より、$x=1$ で極大値をとる。

$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0$

したがって、極大値は $(1, 0)$

$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ より、$x=3$ で極小値をとる。

$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 4 = 27 - 54 + 27 - 4 = -4$

したがって、極小値は $(3, -4)$

(5) グラフをかく。

極大値(1,0), 極小値(3,-4)をとり、$x$が十分に小さいとき負の無限大に、$x$が十分に大きいとき正の無限大に発散する3次関数である。

3. 最終的な答え

極大値: $(1, 0)$

極小値: $(3, -4)$

グラフの概形：極大値と極小値の位置を考慮した3次関数のグラフ。

次に、問題2のa)を解きます。

1. 問題の内容

$f(x) = \sin(2x)$ のマクローリン展開を $n=3$ のときまで書き表す。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

で与えられる。

$f(x) = \sin(2x)$

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = 2\cos(2x)$

$f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(x) = -4\sin(2x)$

$f''(0) = -4\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -8\cos(2x)$

$f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

よって、

$f(x) = 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 + ...$

$f(x) = 2x - \frac{4}{3}x^3 + ...$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x - \frac{4}{3}x^3$

次に、問題2のb)を解きます。

1. 問題の内容

$f(x) = \log(1+x)$ のマクローリン展開を $n=3$ のときまで書き表す。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

で与えられる。

$f(x) = \log(1+x)$

$f(0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f''(0) = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f'''(0) = 2$

よって、

$f(x) = 0 + 1x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + ...$

$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + ...$

3. 最終的な答え

$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

次に、問題2のc)を解きます。

1. 問題の内容

$f(x) = e^{2x}$ のマクローリン展開を $n=3$ のときまで書き表す。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

で与えられる。

$f(x) = e^{2x}$

$f(0) = e^{0} = 1$

$f'(x) = 2e^{2x}$

$f'(0) = 2e^{0} = 2$

$f''(x) = 4e^{2x}$

$f''(0) = 4e^{0} = 4$

$f'''(x) = 8e^{2x}$

$f'''(0) = 8e^{0} = 8$

よって、

$f(x) = 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3 + ...$

$f(x) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + ...$

3. 最終的な答え

$f(x) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$

次に、問題2のd)を解きます。

1. 問題の内容

$f(x) = 2^x$ のマクローリン展開を $n=3$ のときまで書き表す。

2. 解き方の手順

$2^x = e^{x\log 2}$ であることを利用する。

マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

で与えられる。

$f(x) = 2^{x} = e^{x\log 2}$

$f(0) = 2^{0} = 1$

$f'(x) = (\log 2)e^{x\log 2} = (\log 2) 2^x$

$f'(0) = (\log 2) 2^0 = \log 2$

$f''(x) = (\log 2)^2 e^{x\log 2} = (\log 2)^2 2^x$

$f''(0) = (\log 2)^2 2^0 = (\log 2)^2$

$f'''(x) = (\log 2)^3 e^{x\log 2} = (\log 2)^3 2^x$

$f'''(0) = (\log 2)^3 2^0 = (\log 2)^3$

よって、

$f(x) = 1 + (\log 2)x + \frac{(\log 2)^2}{2!}x^2 + \frac{(\log 2)^3}{3!}x^3 + ...$

3. 最終的な答え

$f(x) = 1 + (\log 2)x + \frac{(\log 2)^2}{2}x^2 + \frac{(\log 2)^3}{6}x^3$

次に、問題3のa)を解きます。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ をマクローリン展開を用いて示す。

2. 解き方の手順

問題2のb)で求めた $\log(1+x)$ のマクローリン展開を利用する。

$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + ...$

$\frac{\log(1+x)}{x} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x^2 + ...$

$\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0} (1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x^2 + ...) = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$

次に、問題3のb)を解きます。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ をマクローリン展開を用いて示す。

2. 解き方の手順

$e^x$ のマクローリン展開は、$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$ で与えられる。

$\frac{e^x - 1}{x} = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...) - 1}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + ...$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x\to 0} (1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + ...) = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

次に、問題3のc)を解きます。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ をマクローリン展開を用いて示す。

2. 解き方の手順

$\sin x$ のマクローリン展開は、$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$ で与えられる。

$\frac{\sin x}{x} = \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - ...$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0} (1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - ...) = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

最後に、問題4を解きます。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{(1 + 2025x)\sin x - x \cos x}{x^2} = 2025$ をマクローリン展開を用いて示す。

2. 解き方の手順

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + O(x^4)$

を用いる。

$(1 + 2025x)\sin x = (1 + 2025x)(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) = x - \frac{x^3}{6} + 2025x^2 + O(x^3) = x + 2025x^2 - \frac{x^3}{6} + O(x^3)$

$x\cos x = x(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)) = x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)$

$(1 + 2025x)\sin x - x\cos x = (x + 2025x^2 - \frac{x^3}{6} + O(x^3)) - (x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)) = 2025x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^3)$

$\frac{(1 + 2025x)\sin x - x\cos x}{x^2} = 2025 + \frac{1}{3}x + O(x)$

$\lim_{x\to 0} \frac{(1 + 2025x)\sin x - x\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} (2025 + \frac{1}{3}x + O(x)) = 2025$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to 0} \frac{(1 + 2025x)\sin x - x\cos x}{x^2} = 2025$