問題は、与えられた漸化式で表される数列$\{a_n\}$について、$n$と$a_n$の関係を表すグラフを選択肢の中から選ぶ問題です。初期値はすべての数列で$a_1 = 0.5$です。漸化式は以下の通りです。 (1) $a_{n+1} = a_n + 0.25$ (2) $a_{n+1} = a_n - 0.25$ (3) $a_{n+1} = 1.25 a_n$ (4) $a_{n+1} = 0.75 a_n$ (5) $a_{n+1} = -0.75 a_n$ (6) $a_{n+1} = -1.25 a_n$ (7) $a_{n+1} = 0.85 a_n + 0.25$ (8) $a_{n+1} = -a_n + 0.25$ (9) $a_{n+1} = -0.5 a_n + 0.25$ (10) $a_{n+1} = 3.9 a_n (1 - a_n)$

1. 問題の内容

問題は、与えられた漸化式で表される数列$\{a_n\}$について、$n$と$a_n$の関係を表すグラフを選択肢の中から選ぶ問題です。初期値はすべての数列で$a_1 = 0.5$です。漸化式は以下の通りです。

(1) $a_{n+1} = a_n + 0.25$

(2) $a_{n+1} = a_n - 0.25$

(3) $a_{n+1} = 1.25 a_n$

(4) $a_{n+1} = 0.75 a_n$

(5) $a_{n+1} = -0.75 a_n$

(6) $a_{n+1} = -1.25 a_n$

(7) $a_{n+1} = 0.85 a_n + 0.25$

(8) $a_{n+1} = -a_n + 0.25$

(9) $a_{n+1} = -0.5 a_n + 0.25$

(10) $a_{n+1} = 3.9 a_n (1 - a_n)$

2. 解き方の手順

各漸化式に対して、$a_1 = 0.5$からいくつかの項を計算し、数列の挙動を調べます。そして、その挙動に最も適したグラフを選択肢の中から選びます。

(1) $a_{n+1} = a_n + 0.25$: $a_1 = 0.5, a_2 = 0.75, a_3 = 1.0, a_4 = 1.25, \dots$ 単調増加な等差数列なので、右上がりの直線的なグラフになります。

(2) $a_{n+1} = a_n - 0.25$: $a_1 = 0.5, a_2 = 0.25, a_3 = 0, a_4 = -0.25, \dots$ 単調減少な等差数列なので、右下がりの直線的なグラフになります。

(3) $a_{n+1} = 1.25 a_n$: $a_1 = 0.5, a_2 = 0.625, a_3 = 0.78125, \dots$ 単調増加な等比数列なので、指数関数的に増加するグラフになります。

(4) $a_{n+1} = 0.75 a_n$: $a_1 = 0.5, a_2 = 0.375, a_3 = 0.28125, \dots$ 単調減少な等比数列なので、指数関数的に減少するグラフになります。

(5) $a_{n+1} = -0.75 a_n$: $a_1 = 0.5, a_2 = -0.375, a_3 = 0.28125, a_4 = -0.2109375, \dots$ 符号が交互に変わり、絶対値が減少する数列なので、振動しながら0に近づくグラフになります。

(6) $a_{n+1} = -1.25 a_n$: $a_1 = 0.5, a_2 = -0.625, a_3 = 0.78125, a_4 = -0.9765625, \dots$ 符号が交互に変わり、絶対値が増加する数列なので、振動しながら絶対値が大きくなるグラフになります。

(7) $a_{n+1} = 0.85 a_n + 0.25$: $a_1 = 0.5, a_2 = 0.675, a_3 = 0.82375, \dots$収束する数列。

(8) $a_{n+1} = -a_n + 0.25$: $a_1 = 0.5, a_2 = -0.25, a_3 = 0.5, a_4 = -0.25, \dots$振動する数列。

(9) $a_{n+1} = -0.5 a_n + 0.25$: $a_1 = 0.5, a_2 = 0, a_3 = 0.25, a_4 = 0.125, \dots$収束する数列。

(10) $a_{n+1} = 3.9 a_n (1 - a_n)$: カオス的な振る舞いをする数列。

3. 最終的な答え

(1) グラフ a

(2) グラフ b

(3) グラフ c

(4) グラフ d

(5) グラフ e

(6) グラフ f

(7) グラフ g

(8) グラフ h

(9) グラフ i

(10) グラフ j