(a) $y'' - 2y' + 5y = 0$ の微分方程式を初期条件 $y(0) = 3, y'(0) = 7$ の下で解く。 (b) $y'' - 6y' + 8y = 0$ の微分方程式を初期条件 $y(0) = 1, y'(0) = 6$ の下で解く。

1. 問題の内容

(a) $y'' - 2y' + 5y = 0$ の微分方程式を初期条件 $y(0) = 3, y'(0) = 7$ の下で解く。

(b) $y'' - 6y' + 8y = 0$ の微分方程式を初期条件 $y(0) = 1, y'(0) = 6$ の下で解く。

2. $y'' + 2y' - 3y = 4$ の微分方程式の一般解を求める。

2. 解き方の手順

(a)

1. 特性方程式を求める:

$r^2 - 2r + 5 = 0$

2. 特性方程式の解を求める:

$r = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

3. 一般解を記述する:

$y(x) = e^x(c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x))$

4. 初期条件 $y(0) = 3$ を適用する:

$3 = e^0(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1(1) + c_2(0) = c_1$

よって、$c_1 = 3$

5. $y'(x)$ を計算する:

$y'(x) = e^x(c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x)) + e^x(-2c_1 \sin(2x) + 2c_2 \cos(2x)) = e^x((c_1 + 2c_2)\cos(2x) + (c_2 - 2c_1)\sin(2x))$

6. 初期条件 $y'(0) = 7$ を適用する:

$7 = e^0((c_1 + 2c_2)\cos(0) + (c_2 - 2c_1)\sin(0)) = c_1 + 2c_2 = 3 + 2c_2$

$2c_2 = 4$

$c_2 = 2$

7. 特定解を求める:

$y(x) = e^x(3\cos(2x) + 2\sin(2x))$

(b)

1. 特性方程式を求める:

$r^2 - 6r + 8 = 0$

2. 特性方程式の解を求める:

$(r-2)(r-4) = 0$

$r_1 = 2, r_2 = 4$

3. 一般解を記述する:

$y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{4x}$

4. 初期条件 $y(0) = 1$ を適用する:

$1 = c_1 e^0 + c_2 e^0 = c_1 + c_2$

5. $y'(x)$ を計算する:

$y'(x) = 2c_1 e^{2x} + 4c_2 e^{4x}$

6. 初期条件 $y'(0) = 6$ を適用する:

$6 = 2c_1 e^0 + 4c_2 e^0 = 2c_1 + 4c_2$

7. 連立方程式を解く:

$c_1 + c_2 = 1$

$2c_1 + 4c_2 = 6$

$c_1 = 1 - c_2$

$2(1 - c_2) + 4c_2 = 6$

$2 - 2c_2 + 4c_2 = 6$

$2c_2 = 4$

$c_2 = 2$

$c_1 = 1 - 2 = -1$

8. 特定解を求める:

$y(x) = -e^{2x} + 2e^{4x}$

9. 特性方程式を求める

$r^2 + 2r - 3 = 0$

1

0. 特性方程式を解く

$(r+3)(r-1) = 0$

$r_1 = -3, r_2 = 1$

1

1. 同次方程式の一般解

$y_h(x) = c_1e^{-3x} + c_2e^{x}$

1

2. 特殊解を仮定

$y_p(x) = A$

1

3. 特殊解を求める

$y_p'(x) = 0$

$y_p''(x) = 0$

$0 + 0 - 3A = 4$

$A = -\frac{4}{3}$

$y_p(x) = -\frac{4}{3}$

1

4. 一般解を記述

$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$

$y(x) = c_1e^{-3x} + c_2e^{x} - \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(a) $y(x) = e^x(3\cos(2x) + 2\sin(2x))$

(b) $y(x) = -e^{2x} + 2e^{4x}$

4. $y(x) = c_1e^{-3x} + c_2e^{x} - \frac{4}{3}$